こんにちは、ゲストさん
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ある規則にしたがって数字が並んでいます。
それぞれの □ に入る数字を当ててください。 (1) 2, 6, 12, 20, 30, □, 56, ......
(2) 6, 60, 210, 504, □, 1716, 2730, ......
(3) 2, 12, 36, 80, 150, □, 392, ......
解答
・わたしの...
(1)
2-(4)-6-(6)-12-(8)-20-(10)-30-(12)-42-(14)-56
(2)
6-6*2*5-6*5*7-6*7*12-(?)-6*11*26-6*13*35
(3)
1*2-2*6-3*12-4*20-5*30-6*42=252-7*56
*(2) 気づけず...^^; |
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1000枚のクッキーがある。
幼女A,B,Cの3人は、Aから順に好きなだけクッキーを取っていく。
これをクッキーがなくなるまで繰り返す。 1回に取るクッキーは、必ず1枚以上。
幼女たちには以下の本能がある。
#1. 幼女はできるだけ多くのクッキーを取りたい。
ただし、波風を立てるのはイヤなので「最も多くクッキーを取った人」にはなりたくない。 また、「クッキーが最も少ない人」にもなりたくない。 #2. 自分が#1を満たせないと確信したら、なりふり構わずできるだけ多くクッキーを取ろうとする。
#1は、#2よりも優先される本能である。
#1を満たした幼女は「勝者」と言っていい。
幼女たちは全員きわめて合理的である。
互いにコミュニケーションは取れないが、誰がいくつ取ったかは分かる。 さて、幼女Aが勝つにはいくつクッキーを取ればいい？
解答
・わたしの...
334枚だと思う...
Bも334枚とれば、一人だけがMaxにならない(もっとも多い者にはならない)から ^^ ↑不十分でしたわ ^^; Orz...↓
・鍵コメT様からの精緻な論理 Orz〜
スモークマンさんは，「単独の最多」や「単独の最少」でなければ
条件#1を満たすと解釈されています． この解釈を[解釈1]とします． #1の条件を文字通りに読めば，A,B,Cの枚数が順に334,334,332のとき， A,Bはともに「最も多い者」，Cは「最も少ない者」であり，勝者なしです． この解釈を[解釈2]とします． まず[解釈1]の場合を考えます．
Aが334枚取ったとき，Bは334枚取れば勝者となり， 335枚以上取ると勝者にはなれないので，結局Bは334枚取ることになります． このとき，Cは勝者となれないことが確定し， 残り全部(332枚)を取って終了です．これはスモークマンさんの分析通りです． ところが，Aが334〜500枚を取ったときも，同様のことが起こります． つまり，BはAと同数を取れば勝者となり，それより多いと勝者になれない (Aが500枚のときは，そもそもそれより多くは取れない)ので， BはAと同数を取ることになり，Cは勝者になれないことが確定し， 残りがあるなら，それをすべてCが取って終了します． すると，Aは500枚取るのが最善ですね． (勝者となり，しかもできるだけ多くが取れる．) *確かにそうでしたわ ^^;...
次に[解釈2]の場合を考えます．
この場合，勝者は1人しかいないことに注意します． Aが勝者となれる取り方をしたとすれば， Bは勝者になる手段がないことになり，Bは残りすべてを取るはずです． Aが335枚以上を取ると，Bはそれより1枚だけ少ない枚数を取ることで勝者となり， Aは勝者にはなれません． Aが334枚取った場合は，Bは ・334枚以上取ると，最多者になって，勝者にはなれない ・333枚取ると，Cは勝者となる手段がなく，残りすべてをCが取り，勝者なし ・332枚以下を取ると，Cは333枚取り，Aは残り全部を取って，Cが勝者． となり，結局Bは勝者となる手段がなく，Bは残り全部を取ります． この結果，勝者はAとなります． すると，「Aは334枚を取り，Bは666枚を取り，勝者はA」となるのが結論です． *理屈ですね ^^;☆
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5頂点とも格子点であるような正5角形は存在しない
ことを証明せよ。
解答
・わたしの...
以下のようなもので考えていいのか明らかではないのですが...^^;
・鍵コメT様からのエレガントな解法 Orz〜
いろいろな方法が考えられますが，私の好みは次の方法です．
正5角形ABCDEの頂点がすべて格子点であるとしましょう． 対角線BD,ECの交点をA'とすると，四角形ABA'Eは平行四辺形だから， AA'の中点とBEの中点は一致し， A'の座標は，x,yともに，(Bの座標)+(Eの座標)-(Aの座標)となるので， A'も格子点となります． 同様に，CEとADの交点をB'，DAとBEの交点をC'， EBとCAの交点をD'，ACとDBの交点をE'とすると， B',C',D',E'はすべて格子点はすべて格子点となります． 対称性より，5角形A'B'C'D'E'は正五角形となり， すべての頂点が格子点である正5角形A'B'C'D'E'が 正五角形ABCDEの内部に作られたことになります． 同様の操作を繰り返すことができて， 正5角形ABCDEの内部には無数の格子点が含まれることになり，矛盾です． *いいですね♪
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任意の正整数nに対して、ちょうどn個の格子点を含むような円が存在する。
これらの円は共通の中心を持つようにとれる。
このことを証明せよ。
解答
わからなかったけど...^^;
シュタインハウスの問題ね...
中心は(√2,1/3)以外にもいくらでもあってもいいはずあるね...? ・友人から届いたもの...
*なるほどね ^^;v
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