こんにちは、ゲストさん
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「ビール」を円柱形のジョッキーに注ぐと、液体部分と泡の部分に分かれます。泡は時間がたつと液体になりますが、そのとき、体積は1/3になります。
今、深さ22cmの円柱形のジョッキーにビールを500ｍｌ注いだら、底から14cmのところまでは液体で、その上はジョッキーの上端まで泡になりました。（1回目） 次に、同じ円柱形のジョッキーに「ビール」を620ｍｌ注いだら、ちょうど上端ぴったりで入りきることが出来ました。（2回目） ここで問題です。 2回目に「ビール」620ｍｌを入れた時の、泡の部分の深さは何ｃｍだったでしょうか。 ＜注＞ ①液体が泡になるときは、体積は3倍になります。 ②ジョッキーは、断面積が同じ円柱形であると考えてください。 ③「ビール」は注ぎ方によって液体と泡の割合が変わるので、同じ容器（ジョッキー）に入るビールの量は、注ぎ方によって変わります。 解答
ライブ問にてまたいずれ ^^
俳句で言えば,季語のような問題ね♪
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解答
・わたしの...
y+xz=-2
z+xy=-2
x=-2-yz
y-z-x(y-z)
=(y-z)(1+2+yz)
=0
y=z のときは、対称性から、x=y=z だが、
x^2+x+2=(x+1/2)^2+(2-1/4)>0 で満たさない...
so...
-3=yz
so...
x=1
y+z=-2
t^2+2t-3=0
(t-1)(t+3)=0
t=1 or -3
(x,y,z)=(1,1,-3) 順不同
^^
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a[n]= 2^(n - 1)*cos[((n - 1)*Pi)/3] の総和を S[n]=Sum[a[k],{k,1,n}] とする。
(1) S[2018]を求めて下さい。 (2) 10^50<=S[n]なる最小のnは？ 解答
・わたしの...
[ ]がガウス記号なら...
n-1=3m のときだけ0でない...
m=3*奇数...+1
m=3*偶数...-1
so...
n=2018...2018/6=336...2
2^3+2^9+2^15+...+2^333=2^3*(1+2^6+2^12+2^18+...+2^330)
2^0+2^6+2^12+...+2^330=1+2^6+2^12+...+2^330
so...
S[2018}=(2^3-1)*(1+2^6+2^12+...+2^330)
=(2^3-1)*(2^330-1)/(2^6-1)
=(2^330-1)/(2^3+1)
=(2^6-1)(2^55+2^54+...+1)/(2^3+1)
=(2^3-1)*(2^56-1)
=7*(72057594037927936-1)
=504403158265495545
10^50<=S[n]
S[n]=(2^3-1)(2^(n/6)-1)=2^(3+n/6)-2^(n/6)-2^3+1
so...
10^50<=2^m
m>=50*(log(2)+log(5))/log(2)=166.09...
so...
m=167
3+n/6=167
n=167*6-18=984
だと思う...^^
PCないとできませんのでは...^^;？
実際に...
(2^3-1)(2^(984/6)-1)
=1.63688183381061126838812701264223698201464444813305
x 10^50
(2^3-1)(2^(978/6)-1)
=8.1844091690530563419406350632111849100732222406649
x 10^49
↑
嘘っぱちでした ^^; Orz...
↓
・鍵コメT様からのもの Orz〜
「Pi」は円周率πのことでしょうね．
すると，さすがにこの文脈で 「[ ]をガウス記号と見る」ことはほとんどないと思います． (もしそう見れば， [(n-1)π/3]の値は，n=1,2,3,4に対して， [0]=0，[π/3]=1,[2π/3]=2,[3π/3]=3,[4π/3]=4のようになり， n=23に対してはじめてn-1より大きい値23となります． a[1]=2^0*cos0=1ですが，a[2]=2^1*cos1はすでにわけがわからない値です．) 「cos[x]」は多分ここではcos(x)と同じ意味でしょう． a[n]=2^(n-1)cos((n-1)π/3)は， (2(cos(π/3)+isin(π/3)))^(n-1)=(1+√3i)^(n-1)の実部であり， (1+√3i)^(n-1)をn=1からn=2018までについて加えたものの実部がS[2018]です． 等比数列の和の公式を用いて処理することができます． ・再考してみました...^^;v
z=1+√3I=2*e^(iπ/3)
(z^2018-1)/(1-z) =2^2018*(cos(2018π/3)+isin(2018π/3))/(√3i) =2^2018*sin(2π/3)/√3 =2^2017=S[2018] で, 50(log(5)+log(2)) =50<nlog(2) n>50/log(2)=166.09... so...n=167 結局...
S[167]>10^50>S[166]
でいいのかな ^^;v
↑
不束でした ^^; Orz...
↓
・鍵コメT様からのもの Orz〜
z=1+√3iとおくと，a[n]は，z^(n-1)の実部．
(1) S[2018]は，1+z+z^2+…+z^2017=(1-z^2018)/(1-z)の実部． ここで， 1-z^2018=1-(2^2018)*(cos(2018π/3)+isin(2018π/3)) =1-(2^2018)*(cos(2π/3)+isin(2π/3)) =(1+(2^2017))-(2^2017)√3i， 1-z=-√3i であるから， S[2018]=2^2017. (2) S[n]は，(1-z^n)/(1-z)の実部であり，分母は純虚数-√3iだから，
S[n]は結局，(1-z^nの虚部)/(-√3)，つまり(z^nの虚部)/√3である． これが正となるのは，nを6で割ったときの余りが1または2のときであり， そのとき，z^nの虚部は，(2^n)*(√3)/2となるから，S[n]=2^(n-1). 2^(n-1)≧10^50は，n-1≧50/(log[10]2)と同値であり， 自然数nとしてはn≧167のときに成り立つから， 167以上で，「6で割ったときの余りが1または2」を満たす最小のnを求めて， n=169. *行き届いてますね☆
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