アットランダム≒ブリコラージュ

16933：正方形数列...

2種類のセミが幹に静かに止まってる...

二匹とも...昼間はやっぱり鳴いてないわ ^^

問題16933・・・https://blog.goo.ne.jp/casalingoo/e/04f008a97c6a85c94c7ed23975dfecab より 引用 Orz〜

解答

既出問？

・わたしの...

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610

so...377

^^

16932：必勝...白石2個の置き方...

問題16932・・・CryingDorphin様のサイト http://cdcdcd.sansu.org/pika/G/G-qA2.htm より 引用 Orz〜

ぴー君(先手・白石を多数所持)とかー君(後手・黒石を多数所持)が、図１のように０〜９の数字の書かれた１０か所に石を置くゲームをしています。
はじめは、石を置く場所が隣り合った箇所に縦横計１３本の点線が引かれています。

＜ルール＞　【１】→【２】→【３】→【４】→【５】の順。
【１】 先手が、石の置ける場所のどこかに１個または２個白石を置く。
【２】 白石を置き終わったあと、白石が隣り合っているところがあれば点線を実線に書き換える。
【３】 後手が、石の置ける場所のどこかに１個または２個黒石を置く。
【４】 黒石を置き終わったあと、黒石が隣り合っているところがあれば点線を実線に書き換える。
【５】 ルール【１】に戻る。

これを繰り返して、１０か所すべてに石を置いて線の書き換えが終わったとき、実線の本数が奇数なら先手の勝ち、点線の本数が奇数なら後手の勝ちです。

例えば途中経過で、図２のように白石と黒石が置かれていた場合、実線は２本、点線は１１本あります。

さて、ぴー君がはじめて石を置く番で、少し考え込んだあと「ボクの勝ちだ！」と言って白石を２個置きました。
ぴー君が石を置いたのは、０〜９のうちのどことどこでしょうか？
もしも置ける場所が複数考えられる場合は、そのすべてを答えてください。

---

・同じ場所に２個以上の石を置いてはいけません。
・ルール【２】【４】で、実線に書き換えられるのに書き換えなかった場合は反則負けになります。
・両者とも負けないために最善を尽くしますが、図２は両者が負けないために最善を尽くしたものであるとは限りません。

解答

・わたしの...

点対称の図形だから...真ん中の2-7に白石を置いておけば...

あとは、黒が置いた点対称において行く...

(黒が1-6に置いたら...白は0-5に置く...)

そうすれば...左右にできる実践の個数は対称性から偶数個

最初に2-7においた白の実線１個あるので、必ず奇数になりますね ^^

16931：格子路のすべての最短経路において、対角線上の点を通る回数...^^;

問題16931・・・http://www.osaka-ue.ac.jp/zemi/nishiyama/elegant/shoto74.pdf より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

直感的には...

各対角線上の点において、2方向から入り、2方向に出て行く...

so...4^(n-1)

始点と終点で2回ずつ...で、2^2*4^(n-1)=4^n 

になりそうだけど、その理由の解析は...under consideration...^^;

・鍵コメHa様からのもの Orz〜

数学的帰納法による．まずV(1)=4なのでn=1の場合は成り立つ．次にV(n)=4^nが成り立つとして，n+1×n+1の場合を考える．
点(0,0)から(n+1,n+1)までの経路の全ては，次の４つのいずれかに分類される．
（１）(1,0)と(n+1,n)を通過する経路（その全体からなる集合をR1と称する）
（２）(1,0)と(n,n+1)を通過する経路（その全体からなる集合をR2と称する）
（３）(0,1)と(n,n+1)を通過する経路（その全体からなる集合をR3と称する）
（４）(0,1)と(n+1,n)を通過する経路（その全体からなる集合をR4と称する）
Rkに属する全ての経路pについてv(p)を足したものをW(k)とおくと，明らかに
V(n+1)＝W(1)+W(2)+W(3)+W(4)

W(1)＋W(2)がV(n)の２倍になることは言えると考えられます．ｎ×ｎで考えたとき，対角線上を通過する経路は必ず，始点と終点に加え，上下にずれた斜めの線の上の格子点を通過していなくてはならず，それは対角線上の１点を通過する一回ごとに２つ、必ず発生しているはず．加えて始点と終点はそれぞれ同じ経路１つについて線対称な経路の分で２回数えられるから、結局対角線でカウントする場合の２倍になる．

以上の議論と同様に，R4に属する経路のうち一度でも対角線上の点を通過した全ての経路はR3の経路の元に一意的に対応づけられる．よってW(4)はW(3)に等しく，即ちV(n)に等しいことが言える．ゆえに，
V(n+1)＝W(1)+W(2)+W(3)+W(4)＝4V(n)＝4^(n+1)
これでn+1の場合についても言えたことになり，これで題意は証明された．

・上記解法に触発されて考えてみたもの ^^

(0,0)〜(n,n)までと、(1,1)〜(n+1,n;1)までとはV(n)なので...(n,n)〜(n+1,n+1)までの2通りと、(0,0)〜(1,1)までの2通りから...

2*V(n)+2*V(n)=4V(n)=V(n+1) と言えないでしょうかしらん...?...^^ 

↑

わたしのではダメでした ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

例えば，n=4として「↑↑→→↑↑→→」と移動する経路については，
対角線上(始点，終点を含む)は3点通過していますが，
(0,0)〜(3,3)にも(1,1)〜(4,4)にも該当しません．
一方，「↑→↑→↑→↑→」は，(0,0)〜(3,3)と(1,1)〜(4,4)の両方に該当します．

「2*V(n)+2*V(n)」を正当化する議論の方法はあるのかもしれませんが，
説明なしでは無理だと思います．

*一触粉砕...っていうか、「鎧袖(がいしゅう)一触」...^^;;...