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アットランダム≒ブリコラージュ

「転ぶな、風邪ひくな、義理を欠け」(長寿の心得...岸信介) /「食う、寝る、出す、風呂」(在宅生活4つの柱)

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2018年08月22日

2018年8月21日 | 2018年8月23日

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17011：AA,BBという2つの異なる2桁の整数の積が15で割ると1余るとき,A+B=?...

問題17011・・・https://blog.goo.ne.jp/casalingoo/c/05cb98da25f881f25d135a9dae79f3c1/1 より引用 Orz～

11と22のように十の位と一の位の数字が同じである２つの異なる整数ＡＡとＢＢがある。このＡＡとＢＢの積を15で割ると余りが１となった。このとき，ＡとＢの和として正しいものは，次のうちどれか。

１　７
２　８
３　９
４　10
５　11

解答

・わたしの...

AA*BB=11^2*(A*B)

11^2=121≡1 mod 15

so...

A*B≡1≡16=2*8

so...2+8=10

17010：1～12のカードを合計が等しくなるように3人に分ける...クイズ ^^

問題17010・・・https://blog.goo.ne.jp/casalingoo/c/05cb98da25f881f25d135a9dae79f3c1/1 より引用 Orz～

解答

・わたしの...

1,3,5,7,9,11

12/3=4

2(1+12)=26と偶数になってる...

so...

Aに奇数が4個使われるなら、

Cにも奇数は1ともう一つ使われてなければ偶数になれない...つまり、奇数はここまでで全て使われてるので、Bは偶数だけで偶数になるしかない...^^

実際には...

A=3+5+7+11

C=1+9+6+10=1+9+4+12

B=2+8+4+12=2+8+6+10

ですね ^^

17009：10進法の計算結果を7進法で表したものは？

問題17009・・・https://blog.goo.ne.jp/casalingoo/c/05cb98da25f881f25d135a9dae79f3c1/1 より引用 Orz～

十進法での

584×639－132756

の計算結果を７進法で表したものはどれか．

１　2020433
２　2020635
３　2040262
４　2111015
５　2131432

解答

・わたしの...

584≡3 mod 7

639≡2

132756≡4

3*2-4=3

so...あるとすれば...

2020433

↑

またもやいかれた計算をしてました ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からの本質的な解法 Orz～☆

132756≡132000≡139000≡-1000≡1(mod 7)であり，
計算結果は，7を法として，3*2-1=5と合同です．
(ついでに，3*2-4だとすると，3ではなく2となります．)
最も下の位に着目するだけでは，1つに定まりません．

[解1]
584は偶数，639は3の倍数で，132756は偶数かつ3の倍数だから，
計算結果は6の倍数です．
十進法で数字の和から9で割った余りが分かるのと同様に，
七進法では数字の和から6で割った余りが分かります．
数字の和が6の倍数となるのは2020635だけだから，これが結論です．

もちろん，解1で1つに定まったのはたまたまであり，
いくつかの評価を組み合わせて候補を絞り切るつもりであれば，
最も下の位に着目するのはとても有力です．

[解2]
584は8の倍数，132756は8で割って4余るので，
計算結果は8で割って4余ります．
十進法で，一の位が+となるように交互に数字を足したり引いたりすると
11で割った余りが分かるのと同様に，七進法で，8で割った余りが求められ，
5つの選択肢の数は，8で割った余りが順に0,4,4,5,6となります．
これと，最も下の位(7で割った余り)で，ともに条件を満たすものは，
2020635だけであることがわかります．

*これは応用問題になるわけですが初体験のハニーテイストぉ～^^♪

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17008：4連続整数の積+1=155^2...元の４数の和は？...

天ざる,今日はギリセーフでありつけました ^^♪

問題17008・・・https://blog.goo.ne.jp/casalingoo/c/05cb98da25f881f25d135a9dae79f3c1 より引用 Orz～

4つの連続する正整数の積に１を加えると、その数はある整数の平方となることがわかっている。この操作をして 155^2 となる4整数の和はいくらになるか。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
１　42
２　46
３　50
４　54
５　58

解答

・わたしの...

(m-2)(m-1)m(m+1)+1

=(m^2-m)(m^2-m-2)+1

=(m^2-m)^2-2(m^2-m)+1

=(m^2-m-1)^2

so...

m^2-m-1=155

m^2-m-156=0

156=2^3*3*7=12*14

so...

(m+12)(m-14)=0

so...

m=14

so...

12+13+14+15=2*27=54

↑

無茶やってました ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

156=(2^2)*3*13です．
(x=10として，「156」とはx^2+5x+6のことであり，(x+2)(x+3)となります．)

*目から鱗!!♪

(m+12)(m-13)=0から，m=13であり，4数の和は11+12+13+14=50です．

きちんと計算しなくても，
12*13*14*15+1=(12*14)*(13*15)+1>(12*14)^2=168^2,
10*11*12*13+1=(10*12)*(11*13)+1<(11*13)^2=143^2
であり，大きさの評価から，11*12*13*14+1以外はあり得ませんね．

*なるほどでした ^^;v

・鍵コメY様からのもの Orz～

n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n²＋3n)(n²＋3n＋2) ですので、
n²＋3n＋1＝N とおけば、n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(N－1)(N＋1)＋1＝N² 、
一方、n＋(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＝4n＋6 、
(4n＋6)²＝16n²＋48n＋36＝16(n²＋3n＋1)＋20＝16N＋20 、4n＋6＝2√(4N＋5) になります。
このように、準備しておけば、2√(4･155＋5)＝2√625＝50 です。

*なるほどぉ～☆考えもしませんでした...新鮮ですね ^^♪