アットランダム≒ブリコラージュ

16907：7人の男子と13人の女子が１列に並ぶとき,男女が隣り合う箇所の平均値は？

問題16907(友人問)

7人の男子と13人の女子が1列に並んでいる。この列の中で、

男子と女子が隣り合っている箇所の個数をSとする。例えば

GBBGGGBGBGGGBGBGGBGGではS=12である。Sの平均を求めよ

ただしここで言う平均値とは、この20人の列の配置（男子同士

女子同士も区別するものとする）として考えうるすべての場合における

Sを平均したものである。

解答

・わたしの...

単なる計算のような気がする...

o(女子),x(男子)を塊で考えて...

ox or xo

oxo

oxox or xoxo

...

と1〜14まで、常に対称のものが1:1で存在するので左端がoの場合の数を考える...

1...ox・・・1

2...oxo・・・2H11=12C1=12

3...oxox・・・2H11*2H5=12C1*6C1=72

4...oxoxo・・・3H10*2H5=12C2*6C1=396

5...oxoxox・・・12C2*3H4=66*6C2=66*15=990

6...oxoxoxo・・・4H9*15=12C3*15=220*15=3300

7...oxoxoxox・・・220*4H3=220*6C3=220*20=4400

8...oxoxoxoxo・・・5H8*20=12C4*20=495*20=9900

9...oxoxoxoxox・・・495*5H2=495*6C2=495*15=7425

10...oxoxoxoxoxo・・・6H7*15=12C5*15=792*15=11880

11...oxoxoxoxoxox・・・792*6H1=792*6=4752

12...oxoxoxoxoxoxo・・・7H6*6=12C6*6=924*6=5544

13...oxoxoxoxoxoxox・・・924*1=924

14...oxoxoxoxoxoxoxo・・・8H5*1=12C5=792

so...

(1+2*12+3*72+4*396+5*990+6*3300+7*4400+8*9900+9*7425+10*11880+11*4752+12*5544+13*924+14*792)/(1+12+72+396+990+3300+5500+9900+7425+11880+4752+5544+924+792)

=464100/51488

=116025/12872

=

になるようだけど...^^

↑

嘘でした... ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのエレガントな発想 Orz〜☆

20人から2人のペアを作る作り方は20C2=190(通り)．
1つの並べ方では，このうちの19ペアだけが互いに隣り合うので，
どのペアについても，隣り合う確率は1/10である．

男女のペアは7*13=91(個)あり，どのペアも，10回に1回の割合で隣り合うので，求める平均値は，91*(1/10)=91/10. 

別解も提示しておきます．

ある特定の男子に着目します．
彼は，1/10の確率で端に並び，そのとき，彼の隣が女子である確率は13/19．
9/10の確率で端以外に並び，そのとき，彼の両隣りは，
2人とも女子の確率が(13C2)/(19C2)=26/57，
2人とも男子の確率が(6C2)/(19C2)=5/57，
男女1人ずつである確率は1-(26+5)/57=26/57．

結局，彼の隣りの女子の人数は，
(9/10)*(26/57)=39/95の確率で2人，
(1/10)*(13/19)+(9/10)*(26/57)=91/190の確率で1人，
(1/10)*(6/19)+(9/10)*(5/57)=21/190の確率で0人
となり，平均で，2*(39/95)+1*(91/190)=13/10(人)です．

どの男子についても同じであり，
Sとは，各男子の，隣接する女子の人数の合計だから，
Sの平均は(13/10)*7=91/10となります．

スモークマンさんの解法は，例えば
「○×○は12通り，×○×は6通り」
のように，場合の数について対称性が不成立なのがまずいです．

男子どうし，女子どうしは同一視するとして，
○×と×○で，1+1=2(通り)
○×○と×○×で，12+6=18(通り)
○×○×と×○×○で，72+72=144(通り)
○×○×○と×○×○×で，396+180=576(通り)
○×○×○×と×○×○×○で，990+990=1980(通り)
○×○×○×○と×○×○×○×で，3300+1320=4620(通り)
○×○×○×○×と×○×○×○×○で，4400+4400=8800(通り)
○×○×○×○×○と×○×○×○×○×で，9900+3300=13200(通り)
○×○×○×○×○×と×○×○×○×○×○で，7425+7425=14850(通り)
○×○×○×○×○×○と×○×○×○×○×○×で，11880+2970=14850(通り) 

○×○×○×○×○×○×と×○×○×○×○×○×○で，4752+4752=9504(通り)
○×○×○×○×○×○×○と×○×○×○×○×○×○×で，5544+792=6336(通り)
○×○×○×○×○×○×○×と×○×○×○×○×○×○×○で，924+924=1848(通り)
○×○×○×○×○×○×○×○で，792通り
となり，平均値は，
(1*2+2*18+3*144+4*576+5*1980+6*4620+7*8800+8*13200+9*14850+10*14850+

11*9504+12*6336+13*1848+14*792)/(2+18+144+576+1980+4620+8800+13200+14850+14850+9504+6336+1848+792)

=91/10
と求めることも一応できますが，かなり大変です．

*あまりの雲泥の差に発想の柔らかさの差が埋められそうにないという諦めの気持ちになるのを禁じえましぇん ^^;;...

・友人から届いたもの...

*わかりづらいわ...^^;...

鍵コメT様からの最初の解法方が秀逸だなぁ♪

16906：整数Pの約数のうちの3個の和=P-1となるPは？...^^;

画像：https://tripeditor.com/341591?utm_medium=email&utm_source=mag_W000000601_sat&utm_campaign=mag_9999_0804&l=pnd014200d より 引用 Orz〜

「一度は見てみたい。メキシコのカラフルな町「グアナファト」の絶景」

*行ってみたいな ... ^^♪

問題16906・・・CryingDorphin様のサイト http://cdcdcd.sansu.org/pika/G/G-q60.htm より 引用 Orz〜

ある整数Ｐがあります。
整数Ｐの約数から、異なる３つの整数を選び出します。
３つの整数をうまく選び出せば、「整数の和」を「Ｐ」よりも１だけ小さくすることができました。

Ｐが６とすると、Ｐの約数は１・２・３・６です。
この中から異なる３つの整数を選び出して、その和を求めると、
　小さい方から６，９，１０，１１
となり、整数の和が６より１だけ小さいものが作れず、６は条件に合いません。

Ｐが８とすると、Ｐの約数は１・２・４・８です。
この中から異なる３つの整数をうまく選び出せば、
　１＋２＋４＝７
と、整数の和が８より１だけ小さいものが作れるので、「８」は条件に合います。

(１)　条件を満たす整数Ｐは全部でいくつありますか。
(２)　条件を満たす整数Ｐをすべて足すといくらになりますか。

解答

・わたしの...

素因数が奇数だけのものは...

奇数が3個で奇数≠奇数-1=偶数

so...

素因数に2が含まれる...

偶数-1=奇数=奇数+偶数+偶数=奇数+奇数+奇数

2m-1=m+2m/3+1

6m-3=3m+2m+3

m=6...12

2m-1=m+2m/3+2m/4・・・分母が奇数、奇数では無理

24m-12=12m+8m+6m...なし

2m-1=m+2m/4+1

8m-4=4m+2m+4

m=4...8

2m-1=m+2m/6+1

12m-6=6m+2m+6

m=3...2*3/6=1 なので満たさず

2m-1=m+2m/4+2m/6

24m-12=12m+6m+4m

m=6

2m-1=m+2m/3+2m/8

48m-24=24m+16m+6m

m=12

ここまでで、8,12,24

キリのないアプローチ...^^;

どうすりゃいいのか気づけず...^^;;

算数限界編は難ぃ...^^;;;

・鍵コメT様からの上手い解法 Orz〜☆

Pの(正の)約数から異なる3つa,b,cをうまく選んでa+b+c=P-1とできるので，
a/P+b/P+c/P=1-1/Pです．
ここで，a,b,cはPの約数だから，a/P,b/P,c/Pはどれも単位分数です．

単位分数3つの和を，「1より小さい」条件下で最大にするには，
1/2+1/3+1/7=41/42とする場合だから，1-1/P≦41/42，つまりP≦42です．

これで上限がわかり，ここまでが本質的な部分だと思います． 

Pが正の約数を，P自体以外に3個以上持たないとどうにもなりません．
3個の場合は，P=p^3またはP=pqの形に素因数分解され，
P以外の3つの正の約数の和がP-1より，
1+p+p^2=p^3-1…[1]または1+p+q=pq-1…[2]となります．
[1]からは，p^2+p+1=(p-1)(p^2+p+1)となってp=2が得られ，
[2]からは，(p-1)(q-1)=3となって，p,qが素数である解はありません．
以上より，Pがもつ正の約数がPを含めて4個の場合，
「P=8,1+2+4=P-1」が唯一の解であることがわかります．

Pがもつ正の約数がもっと多い場合は，42以下だから，
Pの候補は12,16,18,20,24,28,30,32,36,40,42だけであり，
順に調べると，
「P=12,1+4+6=P-1」，「P=18,2+6+9=P-1」，「P=20,4+5+10=P-1」，
「P=24,3+8+12=P-1」，「P=42,6+14+21=P-1」
ですべてであることがわかります．

以上より，「P=8」も含めて，結論は以下の通りです．
(1) Pは6個．
(2) Pの合計は，8+12+18+20+24+42=124．

*勉強になります ^^♪