アットランダム≒ブリコラージュ

17325：10^5以下の負でない整数の中から,どの3個を選んでも等差数列にならない1991個の数が選べる...^^;

問題17325(友人問)

10^5(100000)以下の負でない整数の中から、次の条件をみたすような

1991個の数が選べることを示せ。

(*)　どの3個を選んでも等差数列を成さない。

解答

・わたしの...

0,1,3,4,8,9,11,12,24,25,27,28,56,57,59,60,120,121,123,124,248,...

で考えればいいと思うも...

思考停止中...^^;

・友人から届いたもの...

*a,b,c が等差数列のとき、a+c=2b から、

3進法の各桁が0,1だけでできてるものを考えるという発想鮮やか/惚れ惚れ〜♪

17324：ab=29!,a<b である互いに素な(a,b)の組はいくつ？...

問題17324・・・http://task.naganoblog.jp/c56195_2.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 の10種類の素数...

so...

2^10=1024組

ね ^^

↑

画竜点睛を欠いてました ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

1024通りのうちの半数はa<b，半数はa>bです．
a<bであるものだけをカウントするので，結論は512通りですね．

*でした...^^;v

17323：3x3の市松模様...黒と白の面積差...クイズ ^^

問題17323・・・http://task.naganoblog.jp/c56195_2.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

これは気づけましたわ ^^

長方形4個で考えたら、白黒の面積は同じ...

but...真ん中の黒2個分多くカウントしてるので...

黒が2*263*292=153592 だけ多いことになりますね ^^

↑

全然嘘あるね ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様のエレガントな解法 Orz〜♪

上辺に，+1が387個，-1が263個，+1が176個並び，
左辺に，+1が269個，-1が292個，+1が223個並んでいる状態をイメージすると，
掛け算の表で，+1となるところを黒，-1となるところを白で
塗ったことになります．
(黒)-(白)は，掛け算結果の総和であり，
(387-263+176)*(269-292+223)=300*200=60000
となります．

より小さな
■■■□□■
■■■□□■
□□□■■□
■■■□□■
■■■□□■
■■■□□■
について，
+++--+
+++--+
---++-
+++--+
+++--+
+++--+
と見ることができて，(3-2+1)*(2-1+3)となることを
確かめてもらうとわかりやすいかもしれません．

*お気に入りぃ〜 ^^♪

17322：a+b=c+d+e=29 となる、相異なる正の整数の組(a,b,c,d,e)はいくつ？...

問題17322・・・http://task.naganoblog.jp/c56195_2.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

a,b の取り方は...2H27=28C1=28・・・a,bは異なる...

c,d,eの取り方は、3H26=28C2=14*27=378

a=1...2H26=27

2...2H25=26

3...25

...

14...14

は同じになるので...

378-(1+2+...+14)=105

so...

2!*28+3!*105=371

かいなぁ ^^

↑

おかしかったです ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのなるほどの解法 Orz〜

c,d,eの分け方は，等しいものがあってもよいならば，
○29個の隙間28箇所のうち2箇所に区切りを入れる28C2=378(通り)で，
実際は，c=d=1,2,…,14やc=e=1,2,…14，d=e=1,2,…14の42通りを除いて
378-42=336(通り)あります．
このそれぞれに対し，a,bの分け方は，等しいものがあってもよいならば
a:1〜28で28通りですが，
aがc,d,eのいずれかに等しい場合と
bがc,d,eのいずれかに等しい場合が禁止されます．
bがc,d,eのいずれかに等しい時，aはd+e,c+e,c+dのいずれかに等しくなり，
c,d,e,d+e,c+e,c+dのうちには重複がないので，
求める数は，336*(28-6)=7392となりますね．

*やっぱ、発想がちゃうなぁ...^^;☆

17321：10^n-(-1)^n は 11の倍数...

医局で...お菓子かじりながら...あっという間の6時間過ごしました...^^;v

降圧剤が切れてたせいか...?...

今日の碁敵との試合は...10-1と神ってるような怒涛の勢いでしたわ♪

ま、昨日の後輩との打碁ごろから調子戻ってきてる感じはしてたんだけど...

痛風が発症するときの予感と同じように自分でわかるもののようです?...

問題17321・・・wkf*ho*6様よりの提示問 Orz〜

a (n) = 10^n - (-1)^n (n∈N)は11の倍数である[2001 津田塾大學]
ことを　a(n) が満たす　■漸化式をつくることにより■　証明願います。

解答

・わたしの...

(1) n=偶数のとき...

a(2m)=10^(2m)-(-1)^(2m)

         =99...99    (9が偶数個だから11で割り切れますね)

(2) n=奇数のとき...

a(2m+1)=10^(2m+1)-(-1)^(2m+1)

            =(10-(-1))(10^(2m)+10^(2m-1)+...+1)

10-(-1)=11 で11を因数に持ちますね

QED

漸化式作ったことになるのかなぁ...^^;...?

↑

こういうのは漸化式ではないわけね ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

こちらは漸化式を作ったことにはならないと思います．

a(1)=11で，これは11の倍数．
a(n+1)=10^(n+1)-(-1)^(n+1)
=10*10^n+(-1)^n
=-a(n)+11*10^n
だから，a(n)が11の倍数であれば，a(n+1)も11の倍数

以上より，任意の自然数nに対してa(n)は11の倍数． 

*流石に巧いですね♪