18691：△の内接円の接点でできる△...

問題18691・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38916671.html より Orz〜

　△ABCの 辺 BC，CA，AB と内接円との接点をそれぞれ D，E，F とします。

　EF：FD：DE＝16：34：35 のとき、BC：CA：AB＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38923954.html より Orz〜

[解答1]

　△DEFの 内角を単に D，E，F と表すことにします。

　△ABCの内接円は △DEFの外接円であり、この半径を R とすれば、正弦定理より 2sinD＝EF/R 、

　余弦定理より、cosD＝(FD²＋DE²−EF²)/(2･FD･DE) 、

　ここで、(EF²＋FD²＋DE²)/2＝S ，EF･FD･DE＝T とすれば、cosD＝EF(S−EF²)/T 、

　sin2D＝2sinDcosD＝EF²(S−EF²)/(T･R) になり、

　同様に、sin2E＝FD²(S−FD²)/(T･R) 、sin2F＝DE²(S−DE²)/(T･R) です。

　次に、∠BDF＝(π−B)/2 ，∠CDE＝(π−C)/2 だから、

　D＝π−∠BDF−∠CDE＝π−(π−B)/2−(π−C)/2＝(B＋C)/2＝(π−A)/2 になり、

　2D＝π−A 、A＝π−2D 、sinA＝sin2D で、同様に、sinB＝sin2E ，sinC＝sin2F です。

　BC：CA：AB＝sinA：sinB：sinC＝sin2D：sin2E：sin2F

　 ＝EF²(S−EF²)/(T･R)：FD²(S−FD²)/(T･R)：DE²(S−DE²)/(T･R)

　 ＝EF²(S−EF²)：FD²(S−FD²)：DE²(S−DE²) です。

　本問では、EF＝16k ，FD＝34k ，DE＝35k と表せ、

　EF²＝256k² ，FD²＝1156k² ，DE²＝1225k² ，S＝(256k²＋1156k²＋1225k²)/2＝2637k²/2 、

　BC：CA：AB＝EF²(S−EF²)：FD²(S−FD²)：DE²(S−DE²)

　 ＝256k²(2637k²/2−256k²)：1156k²(2637k²/2−1156k²)：1225k²(2637k²/2−1225k²)

　 ＝256･2125：1156･325：1225･187＝256･85：1156･13：49･187＝256･5：68･13：49･11

　 ＝1280：884：539 です。

*難しくって...立式をPC頼りで...^^;...

cos(B/2)=x,cos(A/2)=y,cos(C/2)=z
34^2+35^2-2*34*35*(xy-√(1-x^2)*√(1-y^2))=16^2,
16^2+34^2-2*16*34*(xz-√(1-x^2)*√(1-z^2))=35^2,
16^2+35^2-2*16*35*(yz-√(1-y^2)*√(1-z^2))=34^2
x=17√159/224,=5√159/64,z=√159/28
2b^2*(1-cosB)=2b^2*(1-(2x^2-1))=34^2
2c^2*(1-cosC)=2c^2*(1-(2y^2-1))=35^2
2a^2*(1-cosA)=2a^2*(1-(2z^2-1))=16^2

a=224/25,b=3808/65,c=1120/11
a=224*65*11=2^5*5*7*11*13,=13*11=143
b=3808*25*11=2^5*5^2*7*11*17,=5*17*11=935
c=1120*25*65=2^5*5^4*7*13,=5^3*13=1625

so...
(b+c,c+a,a+b)=(935+1625,1625+143,143+935)
=(2560,1768,1078)
=(1280,884,539) 

・友人からのもの...