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解答
デジャヴー ？
・わたしの...
f(16)=f(15)+f(14)=610
f(17)=f(15)+f(15)+f(14)=2f(15)+f(14)=987
f(18)=3f(15)+2f(14)=1597
f(19)=5f(15)+3f(14)
so...
f(30)
=f(3+15)*f(15)+f(2+15)*f(14)
=1597*377+987*233
=832040
↑
１つずれてましたわ ^^; Orz...
↓
・鍵コメT様からの優れもの Orz〜
例えば，f[19]=5f[15]+3f[14]は，f[19]=f[6]f[15]+f[5]f[14]と表されます．
f[30]=f[17]f[15]+f[16]f[14]=987*377+610*233=514229 となります．832040はf[31]ですね． 多分，想定解は，以下の方法でしょう． f[1]=0,f[2]=1,f[n+2]=f[n+1]+f[n]のとき，n≧2に対して
「f[2n]=(f[n])^2+(f[n+1])^2,f[2n+1]=(f[n+2])^2-(f[n])^2」 が成り立ちます． [証明] 数学的帰納法により示す． n=2のとき，f[4]=2,f[2]=f[3]=1,f[5]=3より成立． n=kのときの成立を仮定して， f[2k+2]=f[2k+1]+f[2k] =((f[k+2])^2-(f[k])^2)+((f[k])^2+(f[k+1])^2 (帰納法の仮定より) =(f[k+1])^2+(f[k+2])^2, f[2k+3]=f[2k+2]+f[2k+1] =((f[k+1])^2+(f[k+2])^2)+((f[k+2])^2-(f[k])^2) (上式と帰納法の仮定より) =(f[k+1])^2+2(f[k+3]-f[k+1])^2-(f[k+3]-2f[k+1])^2・・・ここが技ですね ^^;v =(f[k+3])^2-(f[k+1])^2 から，n=k+1でも成り立つ． 以上により示された． 証明までするとなると，なかなか厄介かもしれませんが，
具体的な数値で規則を見つけ出すことは十分可能だと思います． f[30]をf[14]とf[15]で表したいので， f[4]をf[1]とf[2]で，f[6]をf[2]とf[3]で，f[8]をf[3]とf[4]で 表す式を探します．これ自体はなかなか厳しいですが，1つずらしたものなら 比較的容易に気付けそうです． 「f[4]=2をf[2]=1とf[3]=1で，f[6]=5をf[3]=1とf[4]=2で， f[8]=13をf[4]=2とf[5]=3で，f[10]=34をf[5]=3とf[6]=5で 表す式」となれば，「2乗の和」が浮かんでくると思います． ということで， f[30]=(f[15])^2+(f[16])^2 =(f[15])^2+(f[14]+f[15])^2 =377^2+610^2 =514229 です． *確かに☆
f[2n}+f[2n+1]=f[2n+2]=(f[n+1])^2+(f[n+2])^2
f[2n+1]+f[2n+2]=f[2n+3]=(f[n+2])^2-(f[n])^2+((f[n+1])^2+(f[n+2])^2)
=2*(f[n+3]-f[n+1])^2+f[n+1]^2-(f[n+3]-2f[n+1])^2
=(f[n+3])^2-(f[n+1])^2
と再帰的に生成されてますのねぇ ^^
一般式から、この関係を出せないかと思うも...
つまり...
((1/√5){((1+√5)/2)^n-((1-√5)/2)^n})^2
+((1/√5){((1+√5)/2)^(n+1)-((1-√5)/2)^(n+1)})^2
=(1/√5){((1+√5)/2)^(2n)-((1-√5)/2)^(2n)}
も...どうすればいいのかわかりませんばい...^^;;
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コメント（1）
