アットランダム≒ブリコラージュ

19129：13x-31y=kのとき、x^2+y^2が最小になるとき,4x-12y=1だった.k=?

母の日だったのね...息子が食事に招いてくれました♪

問題19129・・・http://www.phoenix-c.or.jp/~tokioka/tokioka_mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

1/√(5^2+12^2)

so...

x^2+y^2=1/(5^2+12^2)

2x+2y=1/13^2

5x-12y=1

12x+12y=6/13^2

17x=(6+13^2)/13^2=175/169

x=175/(169*17)

y=(175*5-169*17)/(169*17*12)=-333/5746

so...

13x-31y=14873/5746

面倒ぅ...^^;

↑

x,yは整数なのでした...^^; Orz...

・再考...

5x-12y=1 を満たすx,yで、x^2+y^2が最小...

(x,y)=(12m+5,5m+2)

(5,2)

(-7,-3),...

x=5,y=2 のとき...

so...

13x-31y=13*5-31*2=3=k

でしたか ^^

↑

まだ間違ってます ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「5x-12y=1を満たすx,yの中でx^2+y^2を最小にする」のではなく，
「13x-31y=kを満たすx,yの中でx^2+y^2を最小にする」問題です．

実際，k=3であれば，13x-31y=3となる整数(x,y)の中でx^2+y^2を
最小にする(x,y)は，(x,y)=(5,2)であり，条件5x-12y=1は成り立ちますが，
k=2のときも，13x-31y=2となる整数(x,y)の中で，
x^2+y^2を最小にする(x,y)は，(x,y)=(-7,-3)であり，条件は成立します．

5x-12y=1を満たす整数x,yは，
(x,y)=(12m+5,5m+2).
m=0,-1のときは，上記のように，
「13x-31y=13(12m+5)-31(5m+2)=m+3を満たす整数x,yのうちで
x^2+y^2を最小にするのは(x,y)=(12m+5,5m+2)」となる．

m≦-2のとき，
(x,y)=(12m+5,5m+2)はx≦-19,y≦-8となり，
xに31を足し，yに13を足した方がx^2+y^2は小さくなる．
つまり，k≦1のときは，13x-31y=kを満たす整数x,yでx^2+y^2を最小に
するものは，5x-12y=1を満たさない．

m≧1のとき，
(x,y)=(12m+5,5m+2)はx≧17,y≧7となり，
xから31を引き，yから13を引いた方がx^2+y^2は小さくなる．
つまり，k≧4のときは，13x-31y=kを満たす整数x,yでx^2+y^2を最小に
するものは，5x-12y=1を満たさない．

以上より，求めるkは，k=2,3. 

*場合分けが上手すぎます ^^;v

19128：証明...tan1°は無理数...

我が家でなったブルーベリースージー^^

問題19128(友人問)

(1) tan1°が無理数であることを示せ。

(2) cos1° が無理数であることを示せ。

解答

どこかの入試問題にありましたよね ^^

・わたしの...

(1)

tanの和公式から

tan1が無理数でないなら、

tan(1+1)=2tan1/(1-(tan1)^2)も無理数でなく...

tan30°も無理数で無くなるが、実際は1/√3 なので、tan1°は無理数。

(2)

cos1が無理数でなければ、

cosの和公式から...

cos2=2(cos1)^2-1も無理数でなく...

cos30°も無理数でなくなるが、実際は√3/2なので、cos1°は無理数。

↑

後半では...cos30°は出てこないのでありましたわ...^^; Orz...

↓

・友人から届いたもの...

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(2)について，「cosの和公式」というのが加法定理のことだとすれば，
説明としては少し不完全な感はありますが，
cosの加法定理の帰結として得られる次の内容を指すとすれば，
tanの場合と類似の示し方で正しくなります．

次のように帰納的に定まるチェビシェフの多項式T[n](x)
T[0](x)=1,T[1](x)=x,T[n+1](x)=2xT[n](x)-T[n-1](x)
は，すべて整数係数の多項式であり，T[n](cosθ)=cos(nθ)となります．
(数学的帰納法で示されます．)

cos1°が有理数であるとすれば，T[30](cos1°)も有理数であるはずで，
T[30](cos1°)=cos30°=(√3)/2 (無理数)と矛盾します．

また，チェビシェフの多項式までは持ち出さなくても，
「cos5θ=cos(3θ+2θ)=cos3θcos2θ-sin3θsin2θ
=(4(cosθ)^3-3cosθ)(2(cosθ)^2-1)-(3sinθ-4(sinθ)^3)*2sinθcosθ
=(4(cosθ)^3-3cosθ)(2(cosθ)^2-1)-(3-4(sinθ)^2)*2cosθ(sinθ)^2
=(4(cosθ)^3-3cosθ)(2(cosθ)^2-1)-(4(cosθ)^2-1)*2cosθ(1-(cosθ)^2)
だから，cosθが有理数であればcos5θは有理数」
であることを明らかにすれば，
cos1°が有理数である仮定の下で，
cos5°，cos10°，cos30°が順に有理数となって矛盾が得られます．

*cos10°は2倍角で, cos30°はcos 5°と cos 10°から5倍角でということですね ^^

sin91°が無理数も...sin91°=cos1°から言えますわね ^^

19127：関数方程式...^^;

問題19127・・・http://www.phoenix-c.or.jp/~tokioka/tokioka_mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

x=1に関して2次関数という左右対称になる...

2次関数 or 3次関数...

2次関数ではf(3)=f(-1)になるはずなので...

f(x)=ax*(x-b)^2

a((1+x)((1+x-b)^2+(1-x)(1-x-b)^2)

=2x^2

a=b=1

x*x+x(-x)^2=2x^2

f(x)=x(x-1)^2

f(3)=3*2^2=12

-3*f(-1)=-3*(-2^2)=12

で満たしてる ^^

but...まだあるんですねぇ ^^;

19126：分数式の値は？...

問題19126・・・http://www.phoenix-c.or.jp/~tokioka/tokioka_mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(x^2-x-2)(x^2+2x+1)=(x+1)^3*(x-2)

(x^2+x-2)(x^2-2x+1)=(x-1)^3*(x+2)

3/{(x+1)^2*(x-2)}+3/{((x-1)^2*(x+2)} 

=3/(x^3-3x-2)+3/(x^3-3x+2)

=3/(-3)+3/1

=-1+3

=2

面倒じゃ ^^;

もっとスマートにできるのかしらん ...?

・鍵コメT様からのもの Orz〜

大して変わり映えしませんが．．．
α^3-3α=-1であることに注意して，
(与式)=1/((α-2)(α+1))-1/((α+2)(α-1))+1/((α-1)^2))-1/((α+1)^2)
=((α+1)-(α-2))/((α-2)(α+1)^2)+((α+2)-(α-1))/((α+2)(α-1)^2)
=3/(α^3-3α-2)+3/(α^3-3α+2)
=3/(-1-2)+3/(-1+2)=-1+3=2.

*この方が楽でしたか ^^;v

19125：旧跡...基本だけど...^^;

デザートの味思い出せない ^^;

かなりやばい...^^;;

ビール＋ワインだけだったのに...^^;

わたしの記憶は...ほぼ視覚なのかもしれん...?

問題19125・・・https://blog.goo.ne.jp/difkou/e/e393c6d3febe1efbff804bab1c526a36 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

((4+x)*4-4x)/2=8 cm^2

or

CをAに平行移動...

底辺4cm,高さ4cm

so...

4^2/2=8 cm^2

^^