アットランダム≒ブリコラージュ

19509：再アップ問...その2...^^

問題19509(鍵コメT様からの提示問 https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/50304328.html)

a,b,c,dは自然数で，cとdは互いに素，かつc>dであるとする．
1以上abcd以下の整数のうち，
acで割った余りがadで割った余りよりも小さいものはいくつあるか．

解答

・鍵コメT様からの想定解頂戴 Orz〜

ある自然数nをaで割った余りをx，商をyとします．
nをacで割った余りは，a*(yをcで割った余り)+xであり，
nをadで割った余りは，a*(yをdで割った余り)+xだから，
「nをacで割った余りがnをadで割った余りよりも小さい」ための条件は，
「yをcで割った余りr1がyをdで割った余りr2よりも小さい」(*)ことです．

c,dは互いに素であることから，
0≦r1<c,0≦r2<dを満たす任意の整数r1,r2の組合せに対して
yをcdで割った余りが1つ定まりますが，
(*)から，条件を満たすr1,r2の組合せは，
0≦r1<r2<dを満たすdC2=d(d-1)/2(通り)だけあり，
結局，yをcdで割った余りはd(d-1)/2通り可能です．

0≦y<bcdだから，可能なyはbd(d-1)/2通り，xがa通りより，
求める個数は「abd(d-1)/2個」となります．

本問は問題17338の再掲で，問題17335(https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/50304159.html)の一般化として提示したものであり，

問題17335に当てはめれば「4*25*4*3/2=600(個)」とできることになります． 

*熟読玩味ぃ〜^^;v

・鍵コメT様からの詳しい解説頂戴〜m(_ _)m〜♪

互いに素である2数c,dについて，
nをcで割った余りとnをdで割った余りが指定されたとき，
n≡r1 (mod c)とn≡r2 (mod d)が条件であり，
dn=dr1 (mod cd)…[1]かつ cn≡cr2 (mod cd)…[2]となります．
[2]から[1]を，左辺のnの係数が正である限り引いていくと，
左辺のnの係数は最終的にはdより小さくなります．
次に[1]と[3]について同様にして[4]を得，[3]と[4]について同様にして…
と繰り返していくと，左辺のnの係数は，
ユークリッドの互除法を実行しているのと同じことになり減っていき，
c,dが互いに素だから，最終的には1になります．
つまり，n≡○ (mod cd)
のような式が手に入ります．(「中国の剰余定理」と言われる定理です．)

つまり，yをcで割った余りr1とyをdで割った余りr2が定まれば，
yをcdで割った余りが定まることになりますし，
逆に，yをcdで割った余りが定まれば，
yをcやdで割った余りが定まることは明らかだと思います．

すると，yの満たすべき条件
「cで割った余りr1がdで割った余りr2よりも小さい」，
つまり
「(r1,r2)=(0,1),(0,2),…,(0,d-1),
(1,2),(1,3),…,(1,d-1),
(2,3),(2,4),…,(2,d-1),
…,
(d-3,d-2),(d-3,d-1),
(d-2,d-1)」
は，(r1,r2)として
0〜d-1のd個から2個を選ぶ選び方dC2通りだけあることがわかります．

*ありがたいことに...半分くらいわかったり ^^;v Orz〜

19508：求長...△の折り紙...

問題19508・・・浮浪様のサイト「浮浪の館」http://hagure.my.coocan.jp/mondai.html より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

19507：再アップ問 ...その1...^^

問題19507(鍵コメT様からの提示問 https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/folder/931624.html?m=lc&sv=14392&sk=0)

4桁の数で、少なくとも2個は同じ数字になるものが続く最長部分を求めてください。

解答

・わたしの...

9877〜9999・・・123個の部分ね ^^

19506：数列a(n+2)=a(n)-2/a(n+1)のa(328)=?...

問題19506・・・やどかりさんのブログ https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-3557.html より Orz〜

　a₁＝25，a₂＝13，a_n+2＝a_n−2/a_n+1 (n＝1，2，3，……) 

　

　で表される数列｛a_n｝において、a₃₂₈＝？

解答

上記サイト https://okayadokary.blog.fc2.com/?no=3560#comment より Orz〜

　a_n+2＝a_n−2/a_n+1 より、a_n+2a_n+1＝a_n+1a_n−2 、

　数列｛a_n+1a_n｝は 公差が −2 の等差数列になり、a_n+1a_n＝a₂a₁−2(n−1)＝327−2n です。

　また、a_328-na_327-n＝327−2(327−n)＝2n−327 なので、a_na_n+1/(a_328-na_327-n)＝−1 です。

　n＝1，3，……，323，325 とする

　a₁a₂/(a₃₂₇a₃₂₆)＝−1 ，a₃a₄/(a₃₂₅a₃₂₄)＝−1 ，……，a₃₂₃a₃₂₄/(a₅a₄)＝−1 ，a₃₂₅a₃₂₆/(a₃a₂)＝−1

　の 163個の等式と a₃₂₈a₃₂₇＝−327 の 164個の等式の 左辺･右辺の積は、

　a₁a₃₂₈＝327 ですので、25a₃₂₈＝327 、a₃₂₈＝327/25＝13．08 です。

*気づけませんでしたわ ^^;

・友人からのもの...

19505：週末クイズ...^3

問題19505・・・m3週末クイズ より Orz〜

解答

合ってましたわ ^^