アットランダム≒ブリコラージュ

19775：n^3-7n+9が素数になる整数nは？

問題19775・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

n=3m の時は明らかに3の倍数...

n=3m+1...

(3m+1)^3-7(3m+1)+9

=27m^3+27m^2+9m+1-21m+2

=27m^3+27m^2-12m+3...m=0 の時だけ...n=1

簡単すぎる気が...^^;

n=3m-1...

(3m-1)^3-7(3m-1)+9

=27m^3-27m^2-12m+15...m=1の時だけ...n=2

↑

ダメダメ ^^; Orz...

↓

・鍵コメY様からのもの Orz〜

n³−7n＋9＝(n−1)n(n＋1)−6n＋9 は常に３の倍数になりますので、
素数になるなら、n³−7n＋9＝3 、これを解いて、n＝1，2，−3 です。

・鍵コメT様からのもの Orz〜

n^3-7n+9=(n-1)n(n+1)-6n+9であり，
連続3整数の積が3の倍数であることから，これは3の倍数である．

これが素数となるとき，n^3-7n+9=3.
(n-1)(n-2)(n+3)=0となって，求めるnは，n=1,2,-3. 

*ご両人様のようにはなかなかいけないわたしだす...^^;...

19774：(a+2)^p-a^p を2pで割った余りは？...基本 ^^

問題19774・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

pCk...k=1〜(p-1)の場合は分子にpが残るので...pの倍数

(2)

pCk*2^k...k=1〜pまでなので...偶数

(3)

最後の、2^p/(2P)=2^(p-1)/p

ね ^^

↑

(3)はおかしかったわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(3) 「割ったときの余り」は整数になります．
2^(p-1)/pは，pが3以上の素数であれば，整数にはなりません．

(2)より，(a+2)^p-a^pは2で割り切れる．
また，(1)より，(a+2)^p-a^p-2^pはpで割り切れるから，
(a+2)^p-a^pをpで割った余りは，2^pをpで割った余りと一致する．

2^pをpで割った余りは，p=2のときは0であり，p≧3のときは2であるから，
求める余りは，p=2のとき0，p≧3のとき2．

*p≧3のとき，2^(p-1)≡1 (mod p)だからこそ2^p≡2 (mod p)です．

これより，(a+2)^p-a^pは，「偶数かつ，pで割って2余る」ことになります．
このことから，2pで割った余りは2に確定します．

なお，2^(p-1)≡1 (mod p)から直接2^p≡2 (mod 2p)とすることは可能です．

*了解でっす ^^♪

19773：z^7=1...復習 ^^

問題19773・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/  より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

-1

(2)

z+z^2+z^4=z^6+z^5+z^3

so...-1/2

^^

19772：旧跡...ベクトルで表された△...^^;

問題19772・・・116/(0.4771)^2<=a<117/(0.4771)^2 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

↑

どうも違ってるみたい ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

θが何を表しているのかがわからず，式の意味が読み取れませんでした．

・・・角ABOの半分をθで考えてみたのですけど...^^;

ベクトルOAをv(OA)のように表すことにします．

BからOAに下した垂線の足をMとして，
v(OA)・v(OB)=OM*OAであり，OM=1,BM=√(5^2-1^2)=2√6となります．
tan∠BOA=2√6,∠BAO=∠BOAなので，
HM=OMtan(90°-∠BAO)=OM/tan∠BOA=1/2√6=BM/24であり，
△HAB=(23/24)△MAB=(23/48)△OAB=(23/48)*(BM*OA/2)=(23/24)√6です． 

19771：log(3)(log(3)x))=a,116桁の自然数が存在するような自然数aの値は？

問題19771・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

logx/(log3)^2=a

logx=a*(log3)^2

115<=a*(log3)^2<116

115/(0.4771)^2<=a<116/(0.4771)^2

a=506,507,508,509

ってことでいいのかいなぁ ^^

↑

芽茶 ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

log[3](log[3]x)は，logx/(log3)^2ではありません．
自然対数で表すならば次のようになりますが，あまり意味はないと思います．
log(log[3]x)/log3=log(logx/log3)/log3=(log(logx)-log(log3))/log3.

116桁の自然数xは，10^115≦x<10^116を満たし，
115log[3]10≦log[3]x<116log[3]10，つまり
115/log[10]3≦log[3]x<116/log[10]3を満たす．
log[10]3=0.4771だから，241.0…≦log[3]x<243.1…となる．
log[3]241.0…≦a<log[3]243.1…・・・こういう風に表せることがにわかにわからぬ体たらくなわたしだす...^^;;...
であり，これを満たす自然数aはa=5 (=log[3]243). 

*鍵コメT様からの解説頂戴 Orz〜

「241.0…≦log[3]x<243.1…」までがわかれば，
log[3]241.0…≦log[3](log[3]x)<log[3]243.1…，つまり
log[3]241.0…≦a<log[3]243.1…であるのは当然だと思いますが．．．

*確かにそうでしたわ ^^;v

もう寝なきゃいけましぇん...OrZzzz...