こんにちは、ゲストさん
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息子のおごりで出かけたぁ〜^^♪ 平成23年の旧国家Ⅱ種より。
図Ⅰは、相対する面の数の和が7となるサイコロであり、これを前後、左右に何回か回転させた後に見ると、図Ⅱのようになった。
これと同じサイコロ8個を使って図Ⅲのような大きな立方体をつくり、これを図Ⅰ→図Ⅱとしたのと同じ要領で回転させた後に見ると、図Ⅳのようになった。
この場合、図Ⅲに矢印で示した2個のサイコロが、大きな立方体内で他のサイコロと接する面（それぞれ3面）の数を合計するといくらになるか。
解答
・わたしの...
空間認識必要あるね？ ^^;
右奥が右下...1,2,3
右下が左上...1.2.3
が見えてる側
so...
2*(4+5+6)=30
^^
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△ABCにおいて、sinA：sinB：sinC＝2：3：4のとき、最大角の余弦は？
解答
・わたしの...
BC:CA:AB=1/2:1/3:1/4=6:4:3
so...最短のABを見込む角度の余弦が最大...
so...
3^2=6^2+4^2-2*6*4*x
x=(6^2+4^2-3^2)/(2*6*4)=43/48
^^
↑
間違ってましたわ ^^; Orz...
↓
・鍵コメY様からのご指摘 〜m(_ _)m〜
BC：CA：AB＝2：3：4 です。
*でした ^^;v
so...
最短のBCを見込む角度の余弦がMax...
so...
2^2=3^2+4^2-2*3*4*t
t=(3^2+4^2-2^2)/(2*3*4)=7/8
でしたのね ^^...
↑
二重に間違ってましたぁ ^^;; Orz...
↓
・鍵コメT様からのご指摘 Orz〜
余弦を最大にしたいのではなく，「最大角の余弦」です．
2:3:4なら，鈍角三角形であることがわかりますね． すると，最大角は鈍角であり，そのcosは負のはずです． 最大角は，最長辺の対角であり，それは∠Cですね． 4^2=2^2+3^2-2*2*3*cosCから，cosC=-1/4です． *でした...^^;;
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整式P（x）をx−2で割ると5余り、x＋1で割ると−1余る。
このとき、P（x）を（x−2）（x＋1）で割ったときの余りを、
さらにx−1で割ったときの余りはいくつか。
解答
・わたしの...
2a+b=5
-a+b=-1
3a=6...a=2,b=1
f(1)=2*1+1=3
^^
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フェルマー点の素敵な証明見つけた☆
画像：https://mathtrain.jp/fermat より 引用 Orz〜
「証明
BP+CP が一定となる軌跡は B,C を焦点とする楕円 E 。
よって，BP+CP が一定のもとで AP+BP+CP が最小になるのは，P における E の接線と AP が直交するとき。 このとき，楕円の反射定理より，∠BPA=∠CPA となる。同様にして，P がフェルマー点となるとき ∠CPA=∠APB=∠BPC が分かる。」 なるほどですね...♪
周長が等しい時の、最大の△は正三角形の証明でも使われていましたね ^^ |
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約数に２も５も持たない正整数のある累乗は
００・・・０１（０は任意個）を末尾とすることを示せ。 解答
・わたしの...
例えば...
3^4≡1 (mod 2 or 5)
3^20-1
=(3^4)^5-1 (≡0 mod 10)
=(3^2)^10-2
=((3^2)^5+1)((3^2)^5-1)
は3^2-1≡0 (mod 10)を持つので ≡0 (mod 10)
so...
3^20は...末尾2桁は01
7^4+1≡0 (mod 10)
11^60-1
≡(11^12)^5-1 ≡0・・・フェルマーの小定理
=(11^2)^30-1
=((11^2)^15+1)((11^2)^15-1)
=((11^2)^15+1)((11^6)^3-1)
は(11^6-1)、つまり、11^2-1を因数に持つので≡0
奇数の下一桁は、1,3,7,9 なので、
上のように、01となる累乗がある...
でいいのかしらん？
・上記サイトより Orz〜
正整数をＡ、０はｎコとする。
鳩ノ巣原理（しわ寄せ原理）により Ａi ≡ Ａj (mod 10n+1) となる異なる正整数ｉ、ｊ （i＞j） が存在する。・・・ここがよくわからない ^^; Ａi - Ａj = Ａj(Ａi-j - 1) は 10n+1 の倍数で、仮定より、 Ａi-j - 1 は 10n+1 の倍数となる。 よって Ａi-j は ００・・・０１（０はｎ個）を末尾とする。 // ・鍵コメT様からのもの Orz〜
「ある累乗は00…01 (0は任意個)を末尾とする」は
あまり分かりやすい問題文とは思いませんが， 「0の個数がいくつであれ．末尾が00…01となるように累乗をとれる」 という意味です． 途中の「3^2-1≡0 (mod 10)」は誤りであり，・・・3^2+1≡0 (mod 10) でしたわ ^^; 意味するところがよくわかりません． 次のようにできます． 約数に2も5も持たない正整数nは，一の位が1,3,7,9のいずれか． nの一の位が1のとき，n^1の一の位が1， nの一の位が3のとき，n^4の一の位が1， nの一の位が7のとき，n^4の一の位が1， nの一の位が9のとき，n^2の一の位が1である． n^aの一の位が1のとき， n^((10^k)a)は，(10x+1)^(10^k)と表され， その末尾は，「0(k個)1」となるから，題意は示された．・・・なるほどぉ☆ なお，「上記サイト」の解は，多分次のような意味です．
n,n^2,n^3,… (n^t)は，いずれも2,5では割り切れない． 十分多数のtをとれば，その下k+1桁が一致する． n^aとn^b (a<b)が同じ下k+1桁を持つとして， n^b-n^aは10^(k+1)で割り切れ， n^(b-a)-1も10^(k+1)で割り切れるから，n^(b-a)の下k+1桁は「0(k個)1」． よって，題意は示された． *よくわかりました ^^♪
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