アットランダム≒ブリコラージュ

18323：素数と二次方程式...

問題18323・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38844309.html より Orz〜

　p が素数で、２次方程式 x²−(8p−10)x＋p(7p−5)＝0 の解がともに整数のとき、

　p の値と そのときの解は？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38852836.html より Orz〜

[解答1]

　解の公式により、x＝(4p−5)±√｛(4p−5)²−p(7p−5)｝＝(4p−5)±√(9p²−35p＋25) です。

　p＝2 のとき x＝3±3ｉ で適さず、p＝3 のとき x＝7±1＝8，6 です。

　p≧5 のとき、ｑを負でない整数として、9p²−35p＋25＝q² とおけば、

　(3p−5)²−q²＝5p 、(3p−5＋q)(3p−5−q)＝5p＞0 になり、3p−5＋q＞0 だから 3p−5−q＞0 、

　よって、3p−5＋q≧3p−5−q＞0 、(3p−5＋q，3p−5−q)＝(p，5)，(5p，1) です。

　(3p−5＋q，3p−5−q)＝(p，5) のとき、(p，q)＝(3，−1) 不適、

　(3p−5＋q，3p−5−q)＝(5p，1) のとき、(p，q)＝(11，27) 、x＝39±27＝66，12 、

　まとめて、p＝3 のとき x＝6，8 で、p＝11 のとき x＝12，66 です。


[解答2]

　解をα，βとすれば、解と係数の関係により α＋β＝8p−10 ，αβ＝p(7p−5) ですので、

　αβ＝p(8p−10−p＋5)＝p(α＋β)−p²＋5p 、(α−p)(β−p)＝5p になり、

　｛α−p，β−p｝＝｛1，5p｝，｛−1，−5p｝，｛5，p｝，｛−5，−p｝ なので、

　｛α，β｝＝｛p＋1，6p｝，｛p−1，−4p｝，｛p＋5，2p｝，｛p−5，0｝ 、

　α＋β＝7p＋1，−3p−1，3p＋5，p−5 、

　7p＋1＝8p−10，−3p−1＝8p−10，3p＋5＝8p−10，p−5＝8p−10 を解いて、

　p＝11，9/11，3，5/7 になり、素数は p＝11，3 です。

　p＝11 のとき、x²−78x＋792＝0 、(x−12)(x−66)＝0 、x＝12，66 で、

　p＝3 のとき、x²−14x＋48＝0 、(x−6)(x−8)＝0 、x＝6，8 です。


[解答3]

　x²−｛p＋(7p−10)｝x＋p(7p−10)＝−5p 、(x−p)(x−7p＋10)＝−5p だから、

　｛x−p，x−7p＋10｝＝｛1，−5p｝，｛5p，−1｝，｛5，−p｝，｛p，−5｝ であり、

　要素の差を考えれば、(x−p)−(x−7p＋10)＝1＋5p，5p＋1，5＋p，p＋5 、

　6p−10＝5p＋1，p＋5　、　p＝11，3 になり、いずれも素数で適します。

　p＝11 のとき、x²−78x＋792＝0 、(x−12)(x−66)＝0 、x＝12，66 で、

　p＝3 のとき、x²−14x＋48＝0 、(x−6)(x−8)＝0 、x＝6，8 です。

*難しかったわ ^^;

8p-10=a+b
p(7p-5)=a*b

p=2 のときは、6=a+b, 18=a*b を満たすものはないので、
p=4m-1 or 4m+1

また、pが奇素数なので、和も積も偶数になることがわかるので、7p-5は4の倍数…

p=4m+1のとき、7(4m+1)-5=28m+2 は満たさない…

so…
p=4m-1のときで考える…
(4m-1)(7(4m-1)-5)
=(4m-1)(28m-12)
=4(4m-1)(7m-3)

a=4(4m-1) or 2(4m-1) or 4 

a=4(4m-1)=4p…
b=4p-10
p(7p-5)=4p(4p-10)
7p-5=16p-40…9p=35…なし

a=2(2m-1)=2p…
b=6p-10
7p-5=12p-20…5p=15…p=3,a=6,b=8 ☆

a=4…
b=8p-10
p(7p-5)=32p-40
7p^2-37p+40=0…整数解なし
m=3kのとき…

4(4*3k-1)(7*3k-3)

a=6(4k-1) or 12(4k-1) or 12

a=6p…
b=2p-10
7p-5=12p-60…5p=55…p=11,a=66,b=12 ☆

a=12p…
b=-4p-10 でダメ

a=12…
b=8p-22
p(7p-5)=12(8p-22)
7p^2-101p+12*22=0
(7p-24)(p-11)=0…p=11 で上に同じ ☆
結局…(p,m,n)=(3,6,8),(11,12,66)・・・m,nは順不同

18322：確率...1〜nから3枚選んで3枚目がnでなく2枚目が1である...^^;

デザートがなかったからと...帰路各自チョイスす ^^;v

問題18322・・・出会いの泉より https://6626.teacup.com/shochandas/bbs? GAI様提示問 Orz〜

1,2,3,･･･,nの番号をつけたカードが１枚ずつ合計n枚あり
このカードから任意の３枚のカードを取り出し横一列に並べる。
(11)左端のカードが1でない時
　「中央のカードが1である」確率P1は？
(12)左端のカードが1でなく、右端のカードがnでない時
　「中央のカードが1である」確率P2は？
ただしn≧3であるとする。


同じく取り出す枚数を任意の５枚とした場合の
(21)
(22)
での確率はどうなるか？（ただしn≧5であるとする。）

解答

・わたしの...

(11)1/(n-1)

(12)

左端がnのとき...(1/n)(1/(n-1)

左端がn,1でなく、右端がnでないとき...((n-2)/n)((n-3)/(n-1))(1/(n-2))

so...

1/(n(n-1))+(n-3)/(n(n-1))=(n-2)/(n(n-1))

と思ったけど...違うみたい ^^;

・上記サイトより Orz〜

＊らすかる様のもの Orz〜

1枚目を取り出して左端に置き、2枚目を取り出して中央に置き、
3枚目を取り出して右端に置くと考えてよいので、
n(奇数)がいくつでも確率は変わらないと思います。
(1)
1枚目で1以外を引いて残りの1を含むn-1枚から
2枚目で1を引く確率なので、1/(n-1)
(2)
1枚目が1以外かつ3枚目がn以外である確率は
1-1/n-1/n+(1/n){1/(n-1)}=(n^2-3n+3)/{n(n-1)}
2枚目が1かつ3枚目がn以外である確率は
(1/n){(n-2)/(n-1)}=(n-2)/{n(n-1)}
よって求める確率は(n-2)/(n^2-3n+3)

*よくわからない...^^;

・鍵コメT様からのわかりやすい解説頂戴 Orz〜

「1/(n(n-1))+(n-3)/(n(n-1))=(n-2)/(n(n-1))」は，
「左端が1以外，右端がn以外，中央が1」の確率であり，P2ではありません．

具体的に考えてみましょう．
1,2,3,4,5のカードがあるとして，並べ方は全部で5!=120(通り)あります．
このうち，左端が1以外，右端が5以外の並べ方は，
[左端1…4!通り，右端5…4!通り，左端1かつ右端5…3!通り]から，
120-(24+24-6)=78(通り)です．
さらに，左端が1以外，右端が5以外，中央が1の並べ方は，
[中央1…4!通り，中央1かつ右端5…3!通り]から24-6=18(通り)となります．
この場合(つまりn=5の場合)，P2は
「120通りのうち，18通りのどれかが起こる確率」ではなく，
「120通りのうちの78通りが起こったことがわかっている前提で，
18通りのどれかが起こる確率」ですね．
つまり，n=5のときは，P2=18/78=3/13となります．

「左端が1以外，右端がn以外」の確率は，
・「左端がn」(確率1/n)
・「左端が1でもnでもなく，右端がn以外」(確率((n-2)/n)*(n-2)/(n-1))
のどちらかが起こる確率で，
((n-1)+(n-2)^2)/(n(n-1))=(n^2-3n+3)/(n(n-1))となりますね．
これと，スモークマンさんの考察結果の(n-2)/(n(n-1))を見比べれば，
P2=(n-2)/(n^2-3n+3)であることがわかると思います．

*合点です ^^♪

条件付き確率ということでしたのねぇ...

文章だけからは...その差が読み取りづらいものです...^^;...