18350：旧跡...八面体の展開図...

画像：https://webdesignmagazine.net/banksy/ より 引用 Orz〜

降ってないじゃん...!?

問題18350・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38850346.html#38850346 より Orz〜

　図のような、１辺が 3√14 の正三角形が２枚と 斜辺が 3√14 の直角二等辺三角形６枚で

でき展開図をもつ八面体の体積は？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38858919.html より Orz〜

[解答1] たけちゃんさんのコメントより

　正三角形の2面は平行であり，その2面と垂直な方向から立体を見ると，

　2つの正三角形は，中心に関して対称な位置に見える．

　一方の正三角形が xy平面上にあるとし，

　その中心を(0，0，0)，3頂点を(√42，0，0)，(−(√42)/2，±(3√14)/2，0) とする．

　もう一方の正三角形は z＞0 にあるとして，３頂点は(−√42，0，a)，((√42)/2，±(3√14)/2，a) とおけて，

　｛(√42)/2｝²＋｛(3√14)/2｝²＋a²＝(3√7)²より，a＝√21．

　[方法1](積分を利用して)

　　八面体の，平面 z＝at (0＜t＜1)による断面は，

　　すべての内角が 120ﾟ で，辺長が交互に (3√14)t と (3√14)(1−t) である六角形であり，

　　一辺 (3√14)(1＋t) の正三角形から一辺 (3√14)t の正三角形を3つ除いたものとなって，

　　その面積は，｛(√3)/4｝･(3√14)²･｛(1＋t)²−3t²｝＝(63√3)(1＋2t−2t²)/2．

　　以上より，求める体積は，

　　a∫₀¹ ｛(63√3)(1＋2t−2t²)/2｝dt ＝｛(189√7)/2｝[t＋t²−(2/3)t³]₀¹ ＝｛(189√7)/2｝(1＋1−2/3)＝126√7． 

　[方法2](正八面体に変換して)

　　八面体を，xy平面を中心に z軸方向に拡大し，正八面体になるようにする．

　　このとき，xy平面と平行(一致を除く)である面がz＝b上にあるとして，

　　｛(√42)/2｝²＋｛(3√14)/2｝²＋b²＝(3√14)²より，b＝2√21＝2a．

　　よって，求める体積は，一辺の長さが　3√14　の正八面体の体積の　1/2　倍であり，

　　 底面が一辺3√14の正方形，高さが3√7である四角錐の体積と一致するから，

　　(3√14)²･(3√7)･(1/3)＝126√7．

[解答2]

　下左図のように、１辺が 3√14 の正三角形の面に垂直な方向から見れば、

　１辺が (3√14)/√3＝√42 の正六角形に見え、

　直角二等辺三角形の等辺は (3√14)/√2＝3√7 だから、高さを h とすれば、

　(√42)²＋h²＝(3√7)² 、h²＝21 になり、

　１辺が 3√14 の正八面体であれば、高さを H とすれば、

　(√42)²＋H²＝(3√14)² 、H²＝84 になりますので、h²/H²＝21/84＝1/4 、h/H＝1/2 、

　求める八面体の体積は、１辺が 3√14 の正八面体の体積の 1/2 です。

　これは、１辺が 3√14 の正方形を底面とする高さが (3√14)/√2＝3√7 の正四角錐の体積だから、

　(1/3)(3√14)²(3√7)＝126√7 です。

[解答3]

　中右図のように、２個の四角錐に分けることができ、長方形を底面にすれば、

　長方形の２辺は、3√14 ，(3√14)/√2＝3√7 、高さは (3√14)/2 ですので、

　求める体積は、2･(1/3)(3√14)(3√7)(3√14)/2＝126√7 です。

[解答4]

　下右図のような １辺が 3√7 の立方体から、等辺が 3√7 の二等辺三角形を側面とする正三角錐を

　２個除いたものになり、正三角錐の体積は 立方体の体積の 1/6 だから、

　(3√7)³(1−2･1/6)＝3³･(7√7)･2/3＝126√7 です。

＊[解答4]に、たまたま気づけましたぁ♪

1辺が3√7の立方体内の3頂点で90°ねじれた正三角形2枚でき、それぞれの頂点を結んだ8角形の展開図が提示されたものと一致することがわかる ^^
so...1辺3√7の立方体から、正三角形を底面に持つ三角錐２個を削ったものが求めるものなので...
(3√7)^3-2*(3√7)^3/6
=(2/3)(3√7)^3
=126√7