アットランダム≒ブリコラージュ

18373：△の垂心と線分の長さ...

問題18373・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38854731.html#38854731 より Orz〜

　鋭角三角形ABCにおいて、頂点から対辺への垂線を AD，BE，CF 、△ABCの垂心を H とします。

　AF＝44/15 ，AH＝64/15 ，AE＝56/15 のとき、(FB，HD，EC)＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38863333.html より Orz〜

[解答1]

　cos∠HAF＝AF/AH＝(44/15)/(64/15)＝11/16 より sin∠HAF＝(3√15)/16 、
　cos∠HAE＝AE/AH＝(56/15)/(64/15)＝7/8 より sin∠HAE＝(√15)/8 、
　cos∠BAC＝cos(∠HAF＋∠HAE)＝cos∠HAFcos∠HAE−sin∠HAFsin∠HAE＝77/128−45/128＝1/4 、
　BAcos∠BAC＝AE だから、BA/4＝56/15 、BA＝224/15 、FB＝BA−AF＝224/15−44/15＝12 、
　CAcos∠BAC＝AF だから、CA/4＝44/15 、CA＝176/15 、EC＝CA−AE＝176/15−56/15＝8 、
　四角形FBDHは円に内接するので、方べきの定理より、AH･AD＝AF･AB 、
　(64/15)AD＝(44/15)(224/15) 、AD＝154/15 、HD＝AD−AH＝154/15−64/15＝6 になって、
　(FB，HD，EC)＝(12，6，8) です。


[解答2]

　△HAFにおいて、HA：AF＝64/15：44/15＝16：11 、三平方の定理より、HA：AF：FH＝16：11：3√15 です。

　△HCD∽△HAF より、HC：CD：DH＝HA：AF：FH＝16：11：3√15 だから、
　HC＝16k ，CD＝11k ，DH＝(3√15)k とします。

　△HAEにおいて、HA：AE＝64/15：56/15＝8：7 、三平方の定理より、HA：AE：EH＝8：7：√15 です。

　AE：EH＝7：√15 から、56/15：EH＝7：√15 、7EH＝56/√15 、EH＝8/√15 です。

　△HBD∽△HAE より、HB：BD：DH＝HA：AE：EH＝8：7：√15＝24：21：3√15 だから、
　HB＝24k ，BD＝21k になり、BC＝BD＋CD＝21k＋11k＝32k です。

　△BCF∽△HAF より、
　BC：CF：FB＝HA：AF：FH＝16：11：3√15＝32：22：6√15 だから、CF＝22k ，FB＝(6√15)k 、

　△CBE∽△HAE より、
　CB：BE：EC＝HA：AE：EH＝8：7：√15＝32：28：4√15 だから、BE＝28k ，EC＝(4√15)k 、
　EH＝BE−BH＝28k−24k＝4k ですので、4k＝8/√15 、k＝2/√15です。

　これで、図中の線分すべての長さが分かったことになり、
　(FB，HD，EC)＝((6√15)k，(3√15)k，(4√15)k)＝(12，6，8) です。


[解答3] 一般化すると(かなり面倒でした)

　AD＝a ，BE＝b ，CF＝c ，FB＝x ，HD＝y ，EC＝z とします。

　四角形FBDH，四角形HDCE は円に内接するので、方べきの定理より、
　AF･AB＝AH･AD＝AE･AC 、a(a＋x)＝b(b＋y)＝c(c＋z)＝k とおくと、
　ax＝k−a² ，by＝k−b² ，cz＝k−c² 、x＝k/a−a ，y＝k/b−b ，z＝k/c−c 、

　メネラウスの定理より、(AH/HD)(DC/CB)(BF/FA)＝1 ，(AH/HD)(DB/BC)(CE/EA)＝1 、
　(AH/HD)(DC/CB)＝FA/BF ，(AH/HD)(DB/BC)＝EA/CD 、辺々加えて、
　(AH/HD)(DC/CB＋DB/BC)＝FA/BF＋EA/CD 、(AH/HD)(DC＋DB)/BC＝FA/BF＋EA/CD 、

　b/y＝a/x＋c/z 、bxz＝ayz＋cxy 、b²axcz＝a²bycz＋c²axby 、
　b²(k−a²)(k−c²)＝a²(k−b²)(k−c²)＋c²(k−a²)(k−b²) 、
　b²k²−a²b²k−b²c²k＋a²b²c²＝a²k²−a²b²k−a²c²k＋a²b²c²＋c²k²−a²c²k−b²c²k＋a²b²c² 、
　(a²＋c²−b²)k²−2a²c²k＋a²b²c²＝0 、

　ここで、△ABCは鋭角三角形だから、a²＋c²−b²＞0 、
　左辺に k＝b² を代入すれば、(a²＋c²−b²)b⁴−a²b²c²＝−b²(b²−a²)(b²−c²)＜0 だから、
　k の２つの解は b² より大きいものと小さいもので、by＝k−b²＞0 より k＞b² だから、大きい方の解が適します。

　(a²＋c²−b²)｛k/(ac)｝²−2ac｛k/(ac)｝＋b²＝0 、
　k/(ac)＝〔ac＋√｛a²c²−(a²＋c²−b²)b²｝〕/(a²＋c²−b²) 、
　k＝ac〔ac＋√｛(b²−a²)(b²−c²)｝〕/(a²＋c²−b²) になります。

　t＝4/15 とおけば、a＝AF＝44/15＝11t ，b＝AH＝64/15＝16t ，c＝AE＝56/15＝14t だから、 
　k＝154t²｛154t²＋√(135t²･60t²)｝/(61t²)＝154t²(154＋90)/61＝616t² です。

　(FB，HD，EC)＝(x，y，z)＝(k/a−a，k/b−b，k/c−c)＝(616t²/(11t)−11t，616t²/(16t)−16t，616t²/(14t)−14t)
　 ＝(56t−11t，77t/2−16t，44t−14t)＝(45t，45t/2，30t)＝15t(3，3/2，2)＝4(3，3/2，2)＝(12，6，8) です。

*なんとか気づけましたわ ^^;

FH=12/√15, HE=8/√15
△BFH~△CEHで...辺の比は3:2
CH=x...
tan角A=FC/AH=(12/√15+x)/(44/15)=(8/√15+(3x/2))/(56/15)
so...x=32/√15
so...EC^2=(32/√15)^2-(8/√15)^2=64...EC=8
so....FB=8*(3/2)=12
so...BH^2=12^2+2^2/15=12^2(1+1/15)=12^2*(16/15)
...BH=48/√15
so...HD=(48/√15)(8/√15)/(64/15)=6

結局...
(FB，HD，EC)=(12,6,8) 

急なこんな画面にはご注意をば!!...^^;

上のような画面が急に出現!!

ちょい焦ったけど...

Macは安全なはず...?

これはおかしいあるなぁと...スルー...

その後何にもなかとばい!!

調べてみると...

https://nazopla.jp/quize/556.html より 引用 Orz〜

Macのブラウザ上で突然の「ウイルス警告画面」にご注意を！そのときの対処法

「今回の「ウイルスに感染してます」は全くのデタラメであるため『無視』でOKです！  何もする必要はありません。

ウイルス感染の有無に関わらず、全ての端末に「ウイルスに感染しています」と警告しているのです（他の複数のパソコンで試してみました）。

なので「ウイルスに感染してしまった」とパニックになる必要はありません。

今回は、ウイルス駆除ツールをダウンロードされるためのサイトに飛びましたが、フィッシングサイトに飛ばされるという可能性もあるので、「今すぐスキャン」を絶対にクリックしないようにしましょう。

また、そのツールが必要でなければインストールしてはいけません。悪意あるアプリケーションである可能性もあるためです。」

そのほか詳しく説明されてますので参照なされてくださいまっせ ^^

なんだか...オレオレ詐欺みたいで嫌な感じですね...

そういや、大抵は、このサイトは危険ですってな警告は今までも出てたと思うわ...

so...急に、安易に、このボタンを押せ!!ってなのは(不安を煽られるようなもの)にゃ手を出さぬが賢明あるね ^^

そもそも...ユーザーを不安に陥れるような「おもてなし」の対極のような対応が設定されrはずはないという至極まっとうな発想(大坂なおみ的対応？)で構えるのが沈着冷静あるね ^^

18372：旧跡...長方形内の△...クイズ ^^

画像：https://renote.jp/articles/144/page/2 より 引用 Orz〜

"pedple"ってな言葉はないのですね...

"people"...so...関心ないんだからいいのか...^^

問題18372・・・某サイト問 より Orz〜

解答

・わたしの...