アットランダム≒ブリコラージュ

18178：イカサマサイコロでいくら得する？...

問題18178・・・http://www.nurs.or.jp/~lionfan/mainichi_2003_167.html より 引用 Orz〜

A君はサイコロバクチでイカサマをしました。

A君はつねに、2つの目の合計値が7になるのに掛ける(配当は6倍)のですが、
2つのサイコロに細工をして、
　1つめのサイコロは1の目が出る確率を1/5に(残りの目は均等の確率で出ます)、
　2つめのサイコロは6の目が出る確率を1/5に(残りの目は均等の確率で出ます)、
   し、7を出やすくしたのです。

さてA君は今までより、何%くらい得をするでしょうか？

解答

・わたしの...

1-6の組み合わせは、6/5倍

他は(4/25)/(1/6)=24/25倍

so...

(1/3)(6/5)+(2/3)(24/25)

=2/5+16/25

=26/25 倍

so...

1/25=4%の得？

全然違った...^^;

読んでもよくわからない...^^;;

・鍵コメT様からのもの Orz〜

1-6の確率は，(1/5)^2=1/25です．
(正しいサイコロの場合の1/36から見れば，6/5倍ではなく36/25倍です．)
他の2-5，3-4，4-3，5-2，6-1の確率はそれぞれ(4/25)^2=16/625であり，
「合計7」の確率は，1/25+(16/625)*5=(5+16)/125=21/125=0.168ですね．

正しいサイコロなら確率1/6であり，「何％くらい得か」という問題文を
・「1/6をベースに，何倍になるか」と捉えれば，
21/125=(1/6)*(126/125)から126/125=1.008(倍)だから，0.8％，
・「1/6よりも確率がどれだけ増えるか」と捉えれば，
21/125=1/6+1/750から1/750=0.00133…増だから，約0.13％．

*わかりやすい解説グラッチェでっす〜m(_ _)m〜♪

18177：勝つ確率の差...

問題18177・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38819007.html#38819007 より Orz〜

　白球が何個かと赤球３個が入った袋から、Ａ，Ｂの２人が Ａからはじめて交互に１球ずつ取り出し、

　２つ目の赤球を取り出した方を勝ちとします。

　ただし、取り出すときは無作為に取り出すものとし、取り出した球は袋に戻さないことにします。

　(1) 白球が26個のとき、Ａ，Ｂの勝つ確率の差は？

　(2) 白球が27個のとき、Ａ，Ｂの勝つ確率の差は？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38828622.html より Orz〜

(1) 取り出した球に、取り出した順に 1，2，3，……，29 と番号をつけます。

　赤球の番号は３個あり、₂₉Ｃ₃＝29･28･27/3!＝29･14･9 通りです。

　３個の数のうち２番目に小さい番号が奇数であればＡの勝ちです。

　２番目に小さい番号が 3である場合は 2･26 通り，5である場合は 4･24 通り，…… で、

　k＝1，2，……，13 として、２番目に小さい番号が (2k＋1)である場合は 2k･(28−2k)＝56k−4k² 通り、

　これを加えて、56･13･14/2−4･13･14･27/6＝5096−3276＝1820 、

　Ａの勝つ確率は 1820/(29･14･9)＝130/261 、Ｂの勝つ確率は 1−130/261＝131/261 、

　その差は |130/261−131/261|＝1/261 です。


(2) 取り出した球に、取り出した順に 1，2，3，……，30 と番号をつけます。

　赤球の番号は３個あり、３個の数のうち２番目に小さい番号が奇数であればＡの勝ちです。

　どの取り出し方に対しても、順序が正反対の取り出し方を対応させれば、

　３個の数のうち２番目に小さい番号は 一方が奇数で他方が偶数ですので、

　２番目に小さい番号が奇数である場合と偶数である場合は同数です。

　従って、Ａ，Ｂの勝つ確率はいずれも 1/2 であり、その差は 0 です。

・コメント欄より、たけちゃん様のコメント Orz〜

非対称の場合，初めにAが取り出す球が白なら，以下は対称な場合になるので，
確率の差を考えるには，初めの球が赤の場合だけを調べればよいですね．
初めの球が赤だと，残った球は偶数個で，そのうち赤は2つであり，
[答1013]の[参考]の考え方が有効に機能すると思います．

(https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/folder/148198.html?m=lc&sv=1013&sk=0 参照)

つまり，残り球偶数個を，順に2個(順にBが取る球，Aが取る球)ずつの
組にすれば，
・同じ組に赤が2つ揃う場合はBの勝ち，
・それ以外は，先に出る赤を含む組が「赤白」か「白赤」かで
どちらの勝ちかが決まり，それらは等確率
であることから，(2)の確率の差は，初めが赤の確率に，
28個(赤2個を含む)を2個ずつの組にして，2個含まれる赤が同じ組になる確率
を掛けたものとなり，
(3/29)*((14C1)/(28C2))と計算されますね．

*なるほど♪

*わたしゃ...滑り込みセーフでやっとこさぁ ^^;v

(1)Aが勝つには2番目の赤玉の前後に白が奇数個と赤が1個
...2*26,4*24,6*22,...,26*2個=1820
Aが負けるのは、2番目の赤玉の前後に白が偶数個と赤が1個
..1*27,3*25,5*23,...,27*1個=1834
so...
(1834-1820)/(1834+1820)=1/261 

(2)は同じように考えると、積の和は(偶数*奇数、奇数*偶数で)同数になるので...0

*ちなみに友人からのもの...

Aが勝つ確率をw(A)と書く r/N を計算する
途中で勝負がつくが最後まで並べておく
(1) ABABAB………BABA とA15個B14個を白で書いておいて
3箇所を赤にすればよい。赤になった3箇所のうち、（どこにあっても、）
3つ or 2つがAであれば、結局Aの勝ちである。
よって3つある場合は15C3=455
2つの場合は1つ選ばれるBはどこにあってもよいから15C2*14=1470
よってr=455+1470=1925
Nは29C3=3654 よってw(A)=1925/3654=275/522=0.5268
Bが2個以上ならBの勝ちであり引き分けはありえないから
W(B)=1-w(A)=247/522 よって差は28/522=14/261=0.0536

*発想は面白いけど...

Aが２個の時、Aの2個の間にBが1個あるとダメでしたのねぇ ^^;

この発想から求められないかしらん？

(2) 上と同じようにしてもよいが、w(A)=w(B)
だから差は0

・鍵コメT様からのコメント Orz〜

友人さんは，「Aとして2つ目，Bとして2つ目の赤球を取り出した方が勝ち」と
解釈されたようですね．
この問題文だと，その解釈も不可能ではなさそうな気がしますが，
出題者の意図は「全体として2つ目の赤球を取り出した方が勝ち」でした．

*なるほど...そういう風にも解釈できたわけですのねぇ ^^v

18176：コスパのいい検査方法...^^;

問題18176・・・http://www.nurs.or.jp/~lionfan/mainichi_2003_193.html より 引用 Orz〜

ある国Xには1億人の国民がおり、病気Yにかかっている確率は、1/10000である。
病気Yにかかっているかどうかは、血液検査によって完全に判定が可能で、
血液検査1回にかかる費用は1000円である。

また血液検査に使用する試薬は非常に敏感で、ごくわずかな血液でも判定可能なので、
1回の採血量で、無限回の検査の実施が可能であるとする。

ところで、ある医師は次のように考えた。

「1億人にそれぞれ1000円ずつだと、総額で1000億円も必要となる。
　平均して1万人中9999人は病気ではないのだから、うまい方法はないだろうか。

　そうだ、たとえば100人の血を混ぜた血液を検査してしまったらどうだろう？

　「シロ」だったら、10万円かかるところを1000円で済ませたわけだし、
　「クロ」だったら、あらためて全員分の血液検査をしたところで、
　コストはもとの計画より1%しかアップしない」

　そして医師はつぶやきました。

「もしかしたら今のような2段階ではなく、もっと複雑なやり方のほうが、なお安上がりかもしれない。
　いちばん『うまい』検査方法とはどんなもので、
　そのときのコストは1000億円から、平均いくらまで節約できるだろうか？」

解答

・わたしの...

これって、例の毒入りワインの探し方でいいんじゃない？

2^n=10^8

n=26.5...

so...

100000000人を2進数に変えて、

27桁で表される...

各桁に1があるとき、その人の血液を混ぜたサンプルを作ってチェックしたら、10000人が選べる気がするけど？

このとき、27*1000=27000円で済むんじゃないかいなぁ ^^

*ちょいわからなくなってます...^^;

・鍵コメT様からのもの Orz〜

これは難しそうですね．
とりあえず，「クロ」が1人しかいないのであれば確かに27回で済みますが，
クロの人数が分かっていない以上は，そうはいきません．

・筋肉の申し子様からのもの Orz〜

仰る通り、二分探索法が最小にはなると思います。有名問題の毒入りワインのようにターゲットが1つ(1人)であれば27回の検査で済むのですが、正確な数は不明で、10000程度あります。

10000人ずつの10000のグループに必ず1人いるとしても、各グループに対してlog2(10000)=13.27 の探索が必要なので
13.27x10000回の探索になりますよね
13万回くらいは調べないといけなさそうです。
ちなみに計算機でシミュレーションしたら13.4万回となりました。