アットランダム≒ブリコラージュ

18443：0〜9全ての数字が現れる10桁の数で11111の倍数のものはいくつある？...^^;

問題18443(友人問)

10桁の正の整数の各桁に0以上9以下の全ての整数が現れ、
かつ11111の倍数であるとき、その整数を面白い整数と
呼ぶことにする。面白い整数は全部でいくつあるか。

解答

・わたしの...

各桁の数字の和=45

11111の和=5

5*9=45

各桁の和が9...

0が途中にあると...0が消えるので、0は最後...

*11115=123498765

*11124=123598764

*11223=124698753

*12222=135798642

と、この逆の

*51111=567894321

*42111=467895321

*32211=357896421

*22221= 246897531

で...8個かなぁ...理屈じゃなくって...具体的に調べたって感じ...^^;

↑

全然、不出来 ^^; Orz...

↓

・鍵コメY様からのエレガントな解法 Orz〜

3456個あります。
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 の数字を１個ずつ使えば必ず９の倍数になるので、
11111の倍数と 99999の倍数は同じものです。
99999の倍数である条件は 前５桁と後ろ５桁の和が 99999の倍数になることであり、
ABCDEabcde の形の数で、A＋a＝B＋b＝C＋c＝D＋d＝E＋e＝9 になれば 99999の倍数です。
Aの決め方が9通りで同時にaが決まり、Bの決め方が8通りで同時にbが決まり、
Cの決め方が6通りで同時にcが決まり、Dの決め方が4通りで同時にdが決まり、
Eの決め方が2通りで同時にeが決まりますので、9･8･6･4･2＝3456 です。

*10*8*6*4*2-8*6*4*2=(10-1)*8*6*4*2=9*8*6*4*2

・・・先頭が0の場合を引いてですね ☆

・友人から届いたもの ^^

*鍵コメY様と同じ解法でしたね♪

18442：線分比...正方形と円...クイズ ^^

問題18442・・・https://blog.goo.ne.jp/difkou/e/a62e82746e5f7f855033d267bc414c2f より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

半径r

r^2-(10-r)^2=5^2

20r=125

r=25/4

AP=2(10-r)=15/2

so...

EF:FG=10:(15/2)^2=400:225=80:45=16:9

^^

18441：計算...基本 ^^

問題18441・・・https://blog.goo.ne.jp/difkou/e/bc98e3dd589b1bd0d006b210e93c8e73 より引用 Orz〜

解答

・わたしの...

63*97-63*17+80x

=63*80+80x

=80*(63+x)

=8000

so...100-63=37

^^

18440：旧跡...平行四辺形と二等辺三角形...^^;

問題18440・・・https://blog.goo.ne.jp/difkou/e/a62e82746e5f7f855033d267bc414c2f より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

トレミーでしかわからず...^^;

CE*4+7^2=9^2

so...

CE=(9^2-7^2)/4=2*16/4=8

高さ=√(9^2-6^2)=√(3*15)=3√5

so...

△ACE=8*3√5/2=12√5 cm^2

^^;

ピタゴラスで行けることに気づきました...^^

底辺の中点M...

BM=x

9^2-x^2=7^2-(x-4)^2=高さ^2

9^2-7^2+4^2=8x

x=(16*2+16)/8=4+2=6

高さ^2=9^2-6^2=15*3

so...(12-4)*3√5/2=12√5 cm^2

^^

18439：旧跡...平行四辺形内の△分割...

もう罠というか...罪ですよね ^^;...

問題18439・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/folder/102900.html#38864937 より Orz〜

　平行四辺形ABCDの 辺BC上に点Eを 辺CD上に点Fを とります。

　△AEF＝74 ，△CFE＝12 ，△ADF−△ABE＝58 のとき、(△ABE，△ADF)＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38873428.html より Orz〜

[解答1]

　BE＝b ，△ABEのBEを底辺とする高さを h ，AD＝d ，△ADFのADを底辺とする高さを g とすれば、

　EC＝d−b ，△FECのECを底辺とする高さは h−g です。

　平行四辺形ABCD＝dh なので、dh−△ADF−△ABE＝△AEF＋△CFE 、

　dh−△ADF−△ABE＝86 と △ADF−△ABE＝58 の和と差をとって、

　dh−2△ABE＝144 ，dh−2△ADF＝28 、dh−bh＝144 ，dh−dg＝28 、(d−b)h＝144 ，(h−g)d＝28 、

　辺々乗じて、(d−b)(h−g)dh＝144･28 、(2△CFE)dh＝144･28 、24dh＝144･28 、dh＝168 です。

　dh−2△ABE＝144 ，dh−2△ADF＝28 より、168−2△ABE＝144 ，168−2△ADF＝28 、

　(△ABE，△ADF)＝(12，70) です。


[解答2]

　△ABC＝△BCD＝△CDA＝S とします。

　△ABE＝△ABC−△ACE＝S−△ACE ，△ADF＝△CDA−△ACF＝S−△ACF になり、

　△ADF−△ABE＝58 だから、(S−△ACF)−(S−△ACE)＝58 、△ACE−△ACF＝58 です。

　また、△ACE＋△ACF＝△AEF＋△CFE＝74＋12＝86 なので、△ACE＝72 ，△ACF＝14 です。 

　次に、△ACE＝(CE/CB)△ABC＝(CE/CB)S ，△ACF＝(CF/CD)△CDA＝(CF/CD)S ，

　△CFE＝(CE/CB)(CF/CD)△BCD＝(CE/CB)(CF/CD)S だから、△CFE･S＝△ACE･△ACF 、

　S＝△ACE･△ACF/△CFE＝72･14/12＝84 、

　(△ABE，△ADF)＝(S−△ACE，S−△ACF)＝(84−72，84−14)＝(12，70) です。


[解答3]

　辺AD上に AP＝BE となる点Pを 辺AB上に AQ＝DF となる点Qを とり、PEとQFの交点をOとします。

　△OQE＝△PQE−△OPQ＝△ABE−△OPQ ，△OFP＝△PQF−△OPQ＝△ADF−△OPQ 、

　また、△OEF＝△CFE＝12 です。

　平行四辺形ABCD＝2(△OPQ＋△OQE＋△OEF＋△OFP)＝△ABE＋△ADF＋△AEF＋△CFE 、

　2(△OPQ＋△ABE−△OPQ＋12＋△ADF−△OPQ)＝△ABE＋△ADF＋74＋12 、

　△ADF＋△ABE＝2△OPQ＋62 になり、△ADF−△ABE＝58 だから、

　△ABE＝△OPQ＋2 ，△ADF＝△OPQ＋60 になり、

　△OQE＝△ABE−△OPQ＝2 ，△OFP＝△ADF−△OPQ＝60 です。

　ここで、△OEF･△OPQ＝△OQE･△OFP だから、12△OPQ＝2･60 、△OPQ＝10 です。

　△OPQ＝10 、(△ABE，△ADF)＝(△OPQ＋2，△OPQ＋60)＝(12，70) です。

*どうやって考えたのか思い出せないという体たらくあるね...^^;

△ADF−△ABE=△AEC-△AFC=58
△AFC+△AEC=74+12=86
so...△AFC=14,△AEC=72
△CFE:△AFC=12:14=6:7
so...BE:EC=1:6
so...△ABE=72*(1/6)=12
so...△ADF=12+72-14=70