アットランダム≒ブリコラージュ

18807：空間...直線と平面の方程式...^2...復習 ^^

問題18807・・・http://examist.jp/mathematics/math-b/space-equation/space-plane/ より 引用Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

4(x-2)-(y-3)+3(z+1)

=4x-y+3z-8+3+3

=4x-y+3z-2

=0

(2)

略

(3)

a(x-1)+b(y-3)+c(z-1)=a(x-2)+b(y+3)+c*z=a(x+2)+b(y+3)+c(z+2)=0

-a-3b-c=-2a+3b=2a+3b+2c

4a+2c=0

a-6b-c=0

c=-2a

b=a/2

so...

2(x-1)+(y-3)-4(z-1)

=2x+y-4z-2-3+4

=2x+y-4z-1

=0

(4)

(2,-4,-1),(4,-3,1) を通り(2,-1,1)の方向ベクトルを持つ...

(4,-3,1)を通り、(2,1,2),(2,-1,1)の合成ベクトルを持つ...

法線ベクトル：(p,q,r)

2p+q+2r=0

2p-q+r=0

q=(2/3)p,r=-(4/3)p

so...

p:q:r=3:2:-4

so...

3(x-4)+2(y+3)-4(z-1)

=3x+2y-4z-12+6+4

=3x+2y-4z-2

=0

(5)

法線ベクトルが(5,-1,2) ということ...

so...

5(x+4)-y+2(z-1)

=5x-y+2z+20-2

=5x-y+2z+18

=0

(6)

x/2+y/3-z=1

so...

3x+2y-6z-6=0

18806：空間...2直線が交わる,ねじれの位置...復習 ^^;

問題18806・・・http://examist.jp/mathematics/math-b/space-equation/space-line/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

連立方程式が解を持つことを言えばいい...

(4-x)=y-1=(5-z)/3

(x-6)/2=1-y=z-1

x-4=(x-6)/2・・・x=2

(z-5)/3=z-1・・・2z=-2...z=-1

y=3

つまり、(2,3,-1)という交点を持つので交わる。

(2)2直線が平行な２平面上にあることを言えばいい...=交点を持たない

方向ベクトルは、それぞれ(2,-1,3), (2,1,-1)

それぞれの直線は...

(x-1)/2=-y=(z+2)/3

(x+2)/2=y=-z

(x-1)=-x-2・・・x=-1/2

(z+2)/3=z・・・z=1

と、交点を持つのでねじれてないのでは...?...^^;

18805：空間の直線、平面の方程式...復習 ^^;

問題18805・・・http://examist.jp/mathematics/math-b/space-equation/space-line/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

(2,-1,3)+t*(4,5,2)=(4t+2,5t-1,2t+3)

x=4t+2

y=5t-1

z=2t+3

t=(x-2)/4=(y+1)/5=(z-3)/2

(2)

(-2,0,3)+t*(-4,-2,2)=(-4t-2,-2t,2t+3)

x=-4t-2

y=-2t

z=2t+3

-2t=(x+2)/2=y=3-z

z=0 のとき...(4,3,0)

以下のように書かれてあるけど...?

なして、すぐそう言えるんでっしゃろ？

・鍵コメT様から解説頂戴 Orz〜

方向ベクトルが(2,1,-1)で，直線がA(-2,0,3)を通るので，
直線上の点は，(-2+2k,0+1k,3+(-1)k)と表されます．
直線上の点を(x,y,z)とすれば，
k=(x+2)/2,k=(y-0)/1,k=(z-3)/(-1)であり，
同じ「k」を等号でつないで(x+2)/2=y=(z-3)/(-1)です．

一般に，(p,q,r)を通り，方向ベクトル(s,t,u)をもつ直線は，
(s,t,uのうちに0があって，式が意味を失う場合以外は，)
(x-p)/s=(y-q)/t=(z-r)/uを方程式にもちます．

*kは、方向ベクトル(s,t,u)に関し、直線が相似である=平行を意味してる...ってことですね ^^v

(3)

(1,2,0)+t*(0,-4,3)=(1,2-4t,3t)

x=1

y=-4t+2

z=3t

3y+4z=6

x=1

(4)

(3,1,-2)+t*(0,0,1)=(3,1,t-2)

x=3

y=1

z=t-2

zはすべて...

so...

x=3

y=1

なんか不思議...^^;

18804：x-kで割った余りがk(k=1〜n)のとき,(x-1)(x-2)・・・(x-n)で割った余りは？...

問題18804・・・水野先生のサイト「水の流れ」http://ryugen3.sakura.ne.jp/renzoku.html より Orz〜

(１)　ｘの整式Ｐ(ｘ)をｘ−１で割った余りが１、x−2で割った余りが２、

      ｘ−３で割った余りが３となった。

      Ｐ(ｘ)を(ｘ−１)(ｘ−２)(ｘ−３)で割った余りを求めよ。

 

(２)　ｎを2以上の自然数とする。ｋ＝１,２,３,・・・,ｎについて、

      整式Ｐ(ｘ)をｘ−ｋで割った余りがｋとなった。

      Ｐ(ｘ)を(ｘ−１)(ｘ−２)・・・(ｘ−ｋ)で割った余りを求めよ。

(神戸大 過去問より)

解答

・わたしの...

例えば...

10-1=9で割って、余り1

10-2＝８で割って、あまり2

10-3=7で割って、あまり3

なら...9*8*7+10

so...

(x-1)(x-2)(x-3)+x

一般に、

(x-1)(x-2)...(x-k)+x なら、

(x-1),(x-2),...(x-k)で割っても余りはxね ^^

・鍵コメY様からのコメント Orz〜

厳密には 商を Q(x) として、
P(x)＝(x−1)(x−2)(x−3)Q(x)＋x
ですね。

*でしたわ ^^;v