アットランダム≒ブリコラージュ

18944：旧跡...２辺１対角線が等しい四角形...

水瓶の中でメダカすすいのスイ🐠

問題18944・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38964822.html#38964822 より Orz〜

　AB＝AC＝AD の 四角形ABCDがあって、対角線の交点を O とします。

　O は AC の中点で、BDを 15：19 に内分し、OB＝6√5 であるとき、BC＝？　また、△ABC＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38971622.html より Orz〜

[解答1]

　AB＝AC＝AD＝a とすれば、OA＝OC＝a/2 で、∠ABO＝∠ADO＝θ とすれば、

　△ABO，△ADO において 余弦定理より、

　(a/2)²＝a²＋OB²−2･a･OB･cosθ ，(a/2)²＝a²＋OD²−2･a･OD･cosθ だから、

　x²−(2a･cosθ)x＋3a²/4＝0 の解が x＝OB，OD になり、

　解と係数の関係により、OB＋OD＝2a･cosθ ，OB･OD＝3a²/4 、

　OB＝15k ，OD＝19k とおけば、34k＝2a･cosθ ，15･19k²＝3a²/4 になり、a²＝380k² ですので、

　AB²＝a²＝380k² ，OA²＝a²/4＝95k² です。

　また、OB＝15k＝6√5 だから k＝2/√5 、k²＝4/5 です。

　△ABCにおいて、中線定理より、AB²＋BC²＝2(OB²＋OA²) 、

　BC²＝2(OB²＋OA²)−AB²＝2(225k²＋95k²)−380k²＝260k²＝260･4/5＝208 、BC＝4√13 です。

　次に、34k＝2a･cosθ より cosθ＝17k/a 、cos²θ＝289k²/a²＝289k²/(380k²)＝289/380 、

　sin²θ＝1−cos²θ＝91/380 、sinθ＝√(91/380) になり、

　△ABC＝2△ABO＝AB･BO･sinθ＝(√380)k･15k･√(91/380)＝15k²√91＝15(4/5)√91＝12√91 です。


[解答2]

　Aを中心とする B，C，D を通る円と CAの延長との交点を E とし、

　AB＝AC＝AD＝a とすれば、OA＝OC＝a/2 ，OE＝3a/2 で、更に、OB＝15k ，OD＝19k とおきます。

　方べきの定理より、OC･OE＝OB･OD なので、3a²/4＝15･19k² 、a²＝380k² ですので、

　AB²＝a²＝380k² ，OA²＝a²/4＝95k² です。

　また、OB＝15k＝6√5 だから k＝2/√5 、k²＝4/5 です。

　△ABCにおいて、中線定理より、AB²＋BC²＝2(OB²＋OA²) 、

　BC²＝2(OB²＋OA²)−AB²＝2(225k²＋95k²)−380k²＝260k²＝260･4/5＝208 、BC＝4√13 です。

　BDの中点を M とすれば、三平方の定理より、

　AM²＝AB²−BM²＝AB²−(BC/2)²＝380k²−260k²/4＝325k²＝315･4/5＝252 、AM＝6√7 になり、

　△ABC＝BC･AM/2＝(4√13)(6√7)/2＝12√91 です。

*方べきを使う発想はなかったです☆

AB=x,BC=y
中線定理から...
x^2+y^2=2((6√5)^2+(x/2)^2)
x^2=x^2(1/2)^2-(4√5/5)^2+(34√5/5)^2・・・x^2=304
so...y^2=208
BC=y=4√13
△ABC=(6√5)(304-(34√5/5)^2)^(1/2)=12√91

18943：線分比...円に内接する△...^^;

また会う日まで...さいなら...桜花🌸

.散り際も綺麗な見事さあるね ^^👋

問題18943・・・http://task.naganoblog.jp/c56195_2.html より 引用 Orz〜

解答

簡単そうなのに...^^;

under consideration...

もう寝よ...OrZzzz...