アットランダム≒ブリコラージュ

18829：最大仰角...有名問 ^^

いい日、いつものSAに立ち寄り朝食ぅ〜 ^^

+100円の豚汁定食の方がお得感満載なんだけど...

朝はあまり入らないのが悔し...^^;

問題18829・・・http://task.naganoblog.jp/c10519_3.html より 引用 Orz〜

解答

デジャヴー  ^^

・わたしの...

θ=α-β

tan(α-β)

=(4/x-1/x)/(1+4/x^2)

=3x/(x^2+4)

=3/(x+4/x)

θが最大→x+4/xが最小

x+4/x>=2√(x*4/x)=4

so...4 m 離れたところね ^^

↑

アホでしたぁ ^^; Orz...

xを求めなきゃいけなかったのに...^^;;

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

結論は2mです，

xだけ離れた点について，
その点において円と接し，1m上方の点，4m上方の点が同一円周上であることから，
方べきの定理より，x^2=1*4よりx=2となります．

*でしたわ ^^;v

*これは有名な問題だったはずで...最大仰角の問題でサーチすると...

そうそう、「レギオモンタヌスの角度最大化問題」・・・覚えられましぇん ^^;

画像：https://ja.wikipedia.org/wiki/レギオモンタヌスの問題 より Orz〜

「絵画の上下端を通り、目と水平な直線と接する円がただ一つ存在する。初等幾何学によれば、もしも鑑賞者の目の位置がこの円の周上を動けたとすれば円周角は一定であるが、水平線上で接点以外の位置にある場合はそれよりも小さくなる。

ユークリッドの『原論』（第3巻,命題3-36,方べきの定理）により、壁から接点までの距離は絵画の上端・下端の目からの高さの幾何平均になる。（絵画の下端の点を目と水平な直線について線対称移動し、この点と絵画の上端を直径とする円を描くと、水平線との交点がちょうど求める点になる（『原論』（第2巻,命題2-14）））」

*確かに...方べきの定理で求まりますねぇ♪

「数学におけるレギオモンタヌスの問題（またはレギオモンタヌスの角度最大化問題（ Regiomontanus's angle maximization problem）とは、15世紀のドイツの数学者ヨハネス・ミュラー・フォン・ケーニヒスベルクレギオモンタヌスの名でも知られる）が考案した有名な最大化問題である。問題は次の通り。

絵画が壁に掛かっており、その上端と下端の高さが鑑賞者の目の高さより上にあるとする。このとき、鑑賞者（の目）の絵画に対する角度が最大になるのは、壁からどれだけ離れているときか。

鑑賞者が壁に近すぎても遠すぎても絵画に対する角度は小さくなってしまうため、その間のどこかで角度が最大になる。

ラグビーにおいてキックの最適な位置を求める問題もこれと同じである。また、必ずしも絵画が床に垂直でない設定で考えることもできる。（例：ピサの斜塔の窓を見る場合。不動産業者が、傾いた屋根に取り付けた屋根裏部屋の天窓を最も良く見せたい場合。）」

18828：8^n+nが2^n+nで割り切れる時の正の整数nは？

問題18828(友人問)

8^n+n が 2^n+n で割り切れるような正の整数nを全て求めよ。

解答

・わたしの...

2^(3n)+n が 2^n+n で割れる...

n=2^m

2^(2^m+3)+2^m=2^m*(2^(2^m+3-m)+1)

2^(2^m)+2^m=2^m*(2^(2^m-m)+1)

この場合、(2^(2^m-m))^3+1は2^(2^m-m)+1を因数に持つ

so...

n=2^m ・・・mは0以上の整数

かなぁ...^^

↑

デタラメな指数計算してましたわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのAha!!なる解法 Orz〜

n=6のとき，8^n+n=262144+6=262150,2^n+n=64+6=70であり，
262150/70=3745だから，条件は成立します．

n=8のとき，8^n+n=16777216+8=16777224,2^n+n=256+8=264であり，
条件は成立しません．

8^n+n^3は，(2^n+n)((2^n)^2-(2^n)n+n^2)だから，2^n+nで割り切れる．
(8^n+n^3)-(8^n+n)=n^3-nが2^n+nで割り切れる条件を求めればよい．
n=1で，n^3-n=0,2^n+n=3で成立，
n=2で，n^3-n=6,2^n+n=6で成立，
n=3で，不成立，
n=4で，n^3-n=60,2^n+n=20で成立，
n=5で，不成立，
n=6で，n^3-n=210,2^n+n=70で成立．
n=7,8,9で不成立．
n≧10で，0<n^3-n<2^n+nであり(数学的帰納法で証明できます)，不成立．

結局，n=1,2,4,6ですべてです．

*合点です ^^

お気に入りぃ〜♪

・友人から届いたもの...

18827：立方体の切断...^^;

問題18827・・・http://sansu-seijin.jp/?p=5470 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

これはさすがに...

もともと8個

一箇所切断で...4-1=3個増える...

so...8+8*3=32個

^^

↑

間違ってました ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのご指摘 Orz〜

1カ所について，1個→3個で2個ずつ増えますね． 

*でしたわ ^^;...盲点やなぁ ...^^;;

so...8+2*8=24個 なのでした...^^;v

but...辺の1/2以下できる場合ですよね ^^

対角線でできる三角錐のときは ...

正八面体になるので...4+2=6点

1/2より大きく、1より小さい場合...

各面に□ができるから、6+6*4=30個

1より大きく頂点を乗り越えて1/2未満のところで切る場合...？

(どんな形状になるのかよくわからない...^^;)

1より大きく1/2以上で切ると何も残らないので...0個

or...虚数で考えることになるんだろうかしらん...^^;

18826：立方体内の正五角形...できる？

問題18826・・・http://task.naganoblog.jp/c10519_3.html より 引用 Orz〜

解答

デジャヴー ？

・わたしの...

↑

怪し...^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

意味がとれません．

そもそも，題意は
「立方体を，切り口が正五角形になるように切ることはできるか」
だと思います．
例示されている図は，あくまでも「切り口が五角形になる例」であり，
この図では，五角形の1頂点は立方体の1頂点と一致していますが，
正五角形になる切り方を探す考察対象として，
「1つの頂点が立方体の頂点となるもの」に限ってよいかは微妙です．

立方体を平面で切るときの切り口は，多角形としては
三角形，四角形，五角形，六角形
が可能です．
六角形になる場合は，立方体の6面すべてに六角形の辺があり，
対面にある辺どうしは平行だから，六角形の6辺は3組の平行線をなします．
同じ理由で，四角形なら，少なくとも1組の対辺は平行となり，台形ですし，
五角形なら，2組の平行な辺をもつものしかできません．

ということで，正五角形は不可能です．

*なるほど、確かに ^^;☆

18825：正方形内の反射...クイズ ^^

問題18826・・・http://task.naganoblog.jp/c10519_3.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

反射...

↑

迂闊でしたぁ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

1/2<t<2/3のとき，到達する4辺目は辺BCとなり，問題の条件には合いません．

スモークマンさんの図で，
「右下隅の正方形の右側の辺に到達する」
ようにすることになり，
結論は，2/3<t<1となります．

*以下の図で考えなきゃいけませんでしたのね ^^;...