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19166：正の整数nの各位の数字の和をS(n),S(n)=5のとき,Max{S(n^5)}=?...^^;

だいぶ慣れてきた？ココ ^^

問題19166(友人問)

正の整数nに対して、nの各桁の和をS(n)で表す。S(n)=5のとき

S(n^5)としてありうる最大の値を求めよ。

解答

こりゃ無理だべ...^^;

S(5^5)=S(3125)=11

S(11111^5)=S(169342410709747836551)=92

S(101111^5)=S(10567981106529927716286551)=155

S(1001111^5)=S(1005567356930925744317400786551)=128

so...

S(101010101^5)

=S(10515357122875823688468225686217035150501)

=164

これらの数字の和はすべて11

so...

多分これだろうけど...証明じゃない ^^;

調べてみたら...もっと大きくできるのねぇ!!

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1045139885 より引用 Orz～

「mad********様のもの Orz～

n=10^a+10^b+10^c+10^d+10^eとおいて5乗して展開します.
各項の係数を求め,各位の和に直して足します.

10^5a型係数1より各位の和1 5通り
10^(4a+b)型係数5より各位の和5 20通り
10^(3a+2b)型係数10より各位の和1 20通り
10^(3a+b+c)型係数20より各位の和2 30通り
10^(2a+2b+c)型係数30より各位の和3 30通り
10^(2a+b+c+d)型係数60より各位の和6 20通り
10^(a+b+c+d+e)型係数120より各位の和3 1通り

これを係数のまま計算すると
1*5+5*20+10*20+20*30+30*30+60*20+120*1=3125
求めるのは各位の和なので
1*5+5*20+1*20+2*30+3*30+6*20+3*1=398
よって求める答えは398以下である.

tia********様のもの Orz～

ちなみに計算結果は少なくとも
n=1000000000000001000000000110000001
で
S(n^5)=398
となりました。」

*鮮やかなものねぇ☆

これで、数字が重なることがないようにa,b,c,d,eを決めればいいわけね ^^

but...

実際に計算してみると...

1000000000000001000000000110000001^5

=(1000000000000001000000000110000001)^2*(1000000000000001000000000110000001)^3

=100000000000000200000000022000100200000022000000201200000220000001*100000000000000300000000033000300300000066000100603630033066000303900000661331003036300000330000001

=

S(1000000000000001000000000110000001^5)=1+5+5+5+1+5+2+2+1+2+1+2+9+3+3+4+1+8+5+3+3+8+1+4+2+2+1+8+5+6+2+7+6+4+4+7+4+4+3+3+7+4+4+8+5+6+3+1+2+3+5+6+4+1+1+7+3+3+9+9+3+5+6+4+3+8+8+1+6+6+3+2+3+3+2+8+7+3+9+8+3+6+7+7+5+6+3+8+1+4+1+7+7+1+3+3+3+1+1+5+5+1=429

になっちゃうんだけど...?

↑

どこかおかしいようです ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

どこで計算の誤りが発生しているかはわかりませんが，
S(10…010…010…010…01^5)が429になることは絶対にありません．
xとS(x)は9で割った余りが一致し，S(n)=5のとき，nは9で割って5余るので，
n^5は9で割った余りが5^5=3125と同じであるはずで，
S(n^5)は9で割って2余ります．

nとして，数字1が5つあり，他の数字はすべて0であり，
1と1の間隔が，互いに大きく異なるような数を選べば，
具体的な計算をやるまでもなく，S(n^5)は398になります．
例えば，nを
1[10個の0]1[100個の0]1[1000個の0]1[10000個の0]1
とすれば，S(n^5)=398です．

nに登場する1を，かけ離れた位置にとればよいだけです．
例えば，n=10^1+10^10+10^100+10^1000+10^10000とすれば，
n^5=
1*(10^5+10^50+10^500+10^5000+10^50000)
+5*(10^14+10^41+10^104+10^401+10^140+10^410+…+10^14000+10^41000)
+10*(10^23+10^32+…+10^23000+10^32000)
+20*(10^113+10^131+10^311+…+10^31100)
+30*(10^122+10^212+…+10^22100)
+60*(10^1112+10^1121+…+10^21110)
+120*(10^11111)
となり，実際に，計算結果には，「1」が5箇所，「5」が20箇所，
「10」が20箇所，「20」が30箇所，「30」が30箇所，
「60」が20箇所，「120」が1箇所現れます．

*最初の式で全ての場合が表されることに気づけませんでしたわ ^^;...

なるほどの問題でした ♪

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19165：証明...５組のカップル写真で男性みんなが前の女性よりも背が高かった.背の高さの順に並び直してもどの男性も前の女性より背が高い.

問題19165・・・http://task.naganoblog.jp/c10116_3.html より引用 Orz～

解答

・わたしの...

一番背の高い女性F(1)より背が高いのが男性M(5)なら、全員の男性は題意をみたす...

M(4)なら、M(4)以上の男性は題意を満たし、M(5)も少なくともF(5)よりも背が高いので成立。

M(3)でも、残り2人において、同様に考えられる...

以下同じ... ^^

・鍵コメT様からのもの Orz～

各男性にとって，自分よりも背が低い男性がx人いるとき，
「そのx人に自分自身を加えたx+1人の男性」のそれぞれに，
より背が低い女性がいます．
これより，「背が低い方からx+1番目の男性」にとって，
自分よりも背が低い女性がx+1人以上いること，すなわち，
「背が低い方からx+1番目の男性」よりも
「背が低い方からx+1番目の女性」の方が背が低いこと
が結論されます．

・鍵コメT様からの解説頂戴 Orz～♪

当事者目線で考えてみましょう．
また，人数は何人でも同じなので，人数を増やした方が
かえってわかりやすいかもしれません．

男女40人ずつだとして，
男性の中で背が低い方から17番目の人になったつもりで考えてみます．
彼からは，自分より背が低い男性が16人いて，
その16人の前に並んでいる女性，自分の前に並んでいる女性の
合計17人の女性が自分より背が低くなります．
つまり，女性の中で，背が低い方から17番目の人は，
彼から見て，「自分より背が低い人」であることは確定です．

*合点です ^^☆

・わたしの...

上下から埋めて行くと...

4*3*2*1で...

あとは対角線から選ぶしか無くなるので無理ですね ^^

↑

どこかがおかしいようです ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

可能です．

×〇××××
〇×××××
×××××〇
××××〇×
×××〇××
××〇×××

*対角線上の点の位置がずれてくるから、新たに選べる点は減らないわけなのね...^^

対角線上にないような置き方が何通りあるのか...?

6!-2*(5!+2*4*3!+2*4!)=288通り　かな？

・わたしの...

4-0

3-1

so...

ユキの夫は2人ね ^^

・わたしの...

トイ面が違う組が1つでもあれば、180度回転でOK

1つもない場合は...△2つ or 隣同士で違う3ペアの場合に絞られる...

△2つの場合、60°回転で全員OK

隣同士3ペアの場合は、30°回転で全員OK

^^

アットランダム≒ブリコラージュ

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