アットランダム≒ブリコラージュ

19112：魔法陣...基本クイズ ^^

往診先の門番 ^^

今日は、気持ち良さげにすやすやと寝息を立ててました...目が半分開いてたような ^^

問題19112・・・http://task.naganoblog.jp/e2369007.html より 引用 Orz〜

*この遊び：縦、横、斜めの和が等しい魔法陣

解答

・わたしの...

x+y=-2

x+2=y-8

x-y=-10

so...

x=-6

y=4

^^

19111：整数問...m^4=24n(n^2+9)

GWの始まりは道路も空いてて、ススイノスィ〜でしたのがすでに懐かしや...^^

問題19111・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38983393.html より Orz〜(子供さんの作問だって ^^♪)

 m⁴＝24n(n²＋9) を満たす自然数の組(m，n)＝？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38989462.html より Orz〜

　m⁴＝24n(n²＋9)＝12n(2n²＋18)＝｛(n＋3)²−(n−3)²｝｛(n＋3)²＋(n−3)²｝＝(n＋3)⁴−(n−3)⁴ 、

　(n−3)⁴＋m⁴＝(n＋3)⁴ です。

　Fermat の最終定理によれば、x⁴＋y⁴＝z⁴ を満たす自然数の組(x，y，z)が存在しないので、

　x＝0 または y＝0 になります。

　よって、|n−3|＝0 ，m＝n＋3 になり、(m，n)＝(6，3) です。


[参考]

　x⁴＋y⁴＝z⁴ を満たす自然数の組(x，y，z)が存在しないことを示します。

　文字をすべて自然数とし、gcd(□，□，……) で最大公約数を表すことにします。

　まず、X²＋Y²＝Z² ，gcd(X，Y，Z)＝1 のとき、

　奇数の平方数≡1 ，偶数の平方数≡0 (mod 4) であり、gcd(X，Y)＝1 なので、

　X，Y は 奇数と偶数で、Z は奇数です。

　X を奇数，Y を偶数とすれば、Y²＝(Z＋X)(Z−X) 、Z＋X，Z−X は偶数ですので、

　(Z＋X)/2＝P，(Z−X)/2＝Q とおけば、gcd(Z＋X，Z−X)＝2 、gcd(P，Q)＝1 で、Y²＝4PQ 、

　P，Q は平方数になり、P＝p² ，Q＝q² とおけば、Y＝2pq ，X＝P−Q＝p²−q² ，Z＝P＋Q＝p²＋q² です。

　結局、X²＋Y²＝Z² ，gcd(X，Y，Z)＝1 で X が奇数であれば、

　互いに素な p，q で、X＝p²−q² ，Y＝2pq ，Z＝p²＋q² と表されます。

　次に、x⁴＋y⁴＝Z² を満たす自然数の組(x，y，Z)が存在すると仮定し、x は奇数とします。

　そのうち Zが最小なものについて、

　gcd(x²，y²，Z)＝g とすれば、x⁴，y⁴，Z² は g² の倍数なので、Zの最小性から g＝1 、

　gcd(x²，y²，Z)＝1 だから、互いに素な p，q で、x²＝p²−q² ，y²＝2pq ，Z＝p²＋q² と表されます。

　x²＋q²＝p² ，gcd(x，q，p)＝1 だから、互いに素な r，s で、q＝2rs ，p＝r²＋s² と表されます。

　ここで、gcd(p，r)＝gcd(r²＋s²，r)＝gcd(s²，r)＝1 で、同様に、gcd(p，s)＝1 です。

　また、y²＝2pq＝4prs だから、p，r，s はすべて平方数であり、p＝t² ，r＝u² ，s＝v² とすれば、

　p＝r²＋s² より、t²＝u⁴＋v⁴ 、t＞1 ですので、t＜p＜p²＜Z で、これはＺの最小性に反します。

　よって、x⁴＋y⁴＝Z² を満たす自然数の組(x，y，Z)は存在せず、

　x⁴＋y⁴＝z⁴ を満たす自然数の組(x，y，z)は存在しません。

*式変形が巧すぎ☆

わたしゃ...これしかないことの証明がいい加減過ぎでした...^^;

3*2^3*(3t)(9t+9)=3^4*2^3*t(t+1)
t,t+1は互いに素なので...t=1以外だと2種類の素因数が現れる...
so...n=3,m=2*3
つまり...(m,n)=(6,3)
実際に...
6^4=1296

24*3*(9+9)=1296

*後出しジャンケン...^^; Orz〜

ピタゴラス数から...m^2-n^2,2mn,m^2+n^2
((a−3)^2)^2＋(b^2)^2＝((a＋3)^2)^2
右辺は奇数になるので、左辺の(a-3)^2も奇数
つまり...
(a-3)^2=m^2-n^2
(a+3)^2=m^2+n^2
so...
2m^2=2(a^2+9)
m^2=a^2+3^2...a=4,m=5
となるが...(4+3)^2=5^2+24で...24=n^2 なるものはない.

so...a-3=0,(b^2)^2=6^4

でもよかとでしたか...?

19110：旧跡...正方形と4つの円...クイズ ^^

問題19110・・・http://www.chugakujuken.com/sansu/kaisei-tsukukoma-nada/03_en_ougigata/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

正方形：正三角形=3^2：9√3

外側の大きい正方形=(3√3)^2=27

so...

外：内=27：9=3：1

so...

一番内部の正方形=3^2/3=3

結局...

斜線部=9√3+3 cm^2

^^