アットランダム≒ブリコラージュ

19329：差の和は？...クイズ ^^

問題19329・・・http://izumi-math.jp/F_Nakamura/number_of_the_wonders3.pdf より 引用 Orz〜

(1) 1〜50までの数。

(2) 12個の奇数 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23

解答

(1) 25*25=625

(2) 12*6=72

その理由は...上記サイトへ Go〜♪

19328：145=1!+4!+5!のように表せるファクトリアンが有限であることの証明...

問題19328・・・http://izumi-math.jp/F_Nakamura/number_of_the_wonders3.pdf より 引用 Orz〜

証明を試みてください。

解答

・上記サイトより Orz〜

*なるほど ♪

19327：3組のカップルのボート渡り...クイズ ^^;

問題19327・・・http://izumi-math.jp/F_Nakamura/number_of_the_wonders3.pdf より 引用 Orz〜

解答

気づけなかったわ...^^;

解答は上記サイトへGo〜♪

19326：小町数の比...

問題19326・・・やどかりさんのブログ https://okayadokary.blog.fc2.com/?no=3545#comment より Orz〜

　0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 を１つずつ使って、３桁の自然数 a, b と４桁の自然数 c を作り、

　a：b：c＝2：3：4 にするとき、(a，b，c)＝？

解答

上記サイト https://okayadokary.blog.fc2.com/?no=3550#comment より Orz〜

　a＝2n ，b＝3n ，c＝4n とします。

　3n≦987 より n≦329 、4n≦1316 、

　1024≦4n≦1096 または 1204≦4n≦1316 より 256≦n≦274 または 301≦n≦329 です。

　ただし、n の一の位が 0 または 5 であれば 2n，4n の一の位が 0 になるので適さず、

　n の一の位が 7 であれば 3n の一の位と 4n の千の位が 1 になるので適しません。

　よって、256≦n≦274 または 301≦n≦329 で、一の位が 0，5，7 であるものを除きます。

　256≦n≦274 のとき、2n の百の位は 5 ，4n の上２桁は 10 です。

　 256≦n≦259 のとき 2n の十の位は 1 、267≦n≦273 のとき 3n の十の位は 0 または 1 、

　 263≦n≦264 のとき 4n の十の位は 5 で、いずれも適しません。

　 残りは、n＝261，262，266，274 だけです。

　 n＝261 のとき 2n＝522 、n＝274 のとき 3n＝822 で適しませんし、

　 n＝262 のとき 2n＝524 ，4n＝1048 で適しません。

　 n＝266 のとき 2n＝532 ，3n＝798 ，4n＝1064 で、これは適します。

　301≦n≦329 のとき、2n の百の位は 6 ，4n の千の位は 1 です。

　 n の一の位が 3 または 8 のとき 2n の一の位は 6 、n の一の位が 2 のとき 3n の一の位は 6 、

　 n の一の位が 4 または 9 のとき 4n の一の位は 6 で、いずれも適しません。

　 n の一の位が 1 または 6 のとき 2n の一の位は 2 で、

　 301≦n≦324 ならば 4n の百の位は 2 で適しません。

　 残りは、n＝326 だけで、2n＝652 ，3n＝978 ，4n＝1304 で、これは適します。

　結局、(a，b，c)＝(2n，3n，4n)＝(532，798，1064)，(652，978，1304) です。

*わたしゃ...限りなくしらみつぶしに近かったか...^^;

4倍して4桁・・・先頭は2,3

先頭が2・・・250以上

先頭が3**・・・10の位は2以下、1の位は0,1,5でない

4倍の先頭は1

2倍の下一桁は2,4,6,8・・・((1),6),((2),(7)),((3),(8)),(4,9)・・・

256,254,259・・・(512-768-1024),(508-762-1016),(518-877)

264,269・・・(518-792-1056),(538-907-1076)

276,274,279・・・(552),(548-832),(558)

286,284,289・・・(572-858),(568-852),(578-867)

296,294・・・(592-888),(588)

266・・・532-798-1064

299・・・(598-897)

3*6,3*4,3*9

306,316,326・・・(612-918),(632-918-1264),652-918-1304

304,314,324・・・(608-912-1216),(628-912),(648-912-1296)

309,319,329・・・(618-927-1236),(638-927-1276),(658-927-1316)

 

so…(a,b,c)=(652,978,1304) ,(532,798,1064)

19325：楕円x^2+y^2/6^2=1の外の点A(-2,0)から楕円に交わる直線を引きその交点P,Q.と点B(1.0)でできる△PBQの最大値は？

問題19325(wkf*h0*6様提示問 Orz〜)

楕円　x^2/1^2 + y^2/6^2 = 1　外の１点Ａ(-2,0)から楕円と2点P,Q

で交わる直線y = m*(x + 2) 　　　を引く。

このとき、点B(1,0)を頂点とする△PBQの面積の最大値を求めよ。

解答

・わたしの...

x^2+y^2=1

y=m(x+2)

(1,0)

P(px,qx)

Q(qx.qy)

△PBQ=(3/2)*(qy-py)

x=y/m-2

(y/m-2)^2+y^2=1

(1/m^2+1)y^2-(4/m)y+3=0

py+qy=(4/m)/(1/m^2+1)

py*qy=3/(1/m^2+1)

(qy-py)^2=(qy+py)^2-4py*qy

              =((4/m)/(1/m^2+1))^2-12/(1/m^2+1)

              =-4m^2(3m^2-1)/(m^2+1)^2

(-4m^2(3m^2-1)/(m^2+1)^2)'=8m(1-7m^2)/(m^2+1)^3

so...

m=±1/√7

m=1/√7

y=1/√7(x+2)

(1/7+1)y^2-4√7*y+3=0

y=(√7/4)(7-√43),(√7/4)(7+√43)

so...

(3/2)(√7*√43/2)

=3√301/4

so...

実際は、この6倍なので...

9√301/2=78.072...

がMaxのはずね ^^

計算面倒...^^;;

↑

嘘でしたわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのスマートな解法 Orz〜☆

「円x^2+y^2=1外の1点A(-2,0)から円と2点P,Qで交わる直線Lを引く．
B(1,0)として，三角形PBQの面積の最大値を求めよ．」(*)
の答えの6倍が結論となります．まず，こちらの問いを考察します．

原点をOとして，LにO,Bから垂線OH,BIを引くと，
△AOH∽△ABIとなり，相似比はAO:AB=2:3です．
よって，BI=(3/2)OHであり，△PBQ=(3/2)△OPQとなります．
ここで，三角形OPQにおいてOP=OQ=1だから，
△OPQは，∠POQ=90°のときに最大値1/2をとり，
すると，△PBQの最大値は3/4と確定します．

以上により，(*)の結論は3/4となるので，
元の問題の答えは(3/4)*6=9/2だと思います．

*なるほどでっす ^^♪

わたしゃ...高さ(qy-py)に底辺3をかけて直接求めるという荒技だったわけですが...^^;

それでも求まるはずなのに...どこかミスったに違いないと思いたい...^^;;...

・ありがたいことに...鍵コメT様が確認くださいました♪

スモークマンさんの解を調べてみました．

「P(px,qx)」は多分「P(px,py)」でしょうね．
以下，(qy-py)^2=-4(m^2)(3m^2-1)/(m^2+1)^2まで正しいと思います．
ただし，この計算(あるいはもう少し前の段階)では，
m^2かm^2+1を別の文字(例えばt)に置き換える方が得だと思います．
そうすれば，実は微分を用いる必要もありません．

m^2+1=tとおくと，1≦t<4/3であり，
(qy-py)^2=-4(t-1)(3t-4)/(t^2)=-12+28/t-16/(t^2)
=-16(1/t-7/8)^2+1/4
となるから，qy-pyは，t=8/7，すなわち m=±1/√7で最大で，
qy-pyの最大値は1/2となって，置き換えた問題の結論「△PBQ=3/4」を得ます．

*結構すっきりと解けるのでしたか ^^;v 〜m(_ _)m〜v