アットランダム≒ブリコラージュ

19633：約数の個数が6個で,90との最大公約数が15である整数は？

問題19633・・・http://sansuunomori.html.xdomain.jp/byou120.htm より 引用 Orz〜

約数の個数が６個で、９０との最大公約数が１５である整数は[　]です。

解答

・わたしの...

15=3*5

90=2*3^2*5

so...

3*5^2=75しかないですね ^^

19632：9/11<17/□<8/9...

問題19632・・・http://sansuunomori.html.xdomain.jp/byou117.htm より 引用 Orz〜

９/１１より大きく８/９より小さい数で、分子が１７である分数を求めなさい。 

解答

・わたしの...

9/11<17/20<8/9

ですが...^^

この理由として上記サイトにうまい説明がありましたぁ☆

↓

「与えられた分数の分子の平均が１７になるよう、分母・分子を２倍しました。答えの分母は１８と２２の平均となります。実際にあるかどうかはともかく、水４ｇに食塩１８ｇを溶かした食塩水（濃さは１８/２２）と水２ｇに食塩１６ｇを溶かした食塩水（濃さは１６/１８）を１：１で混ぜ合わせると、濃さは（１８＋１６）/（２２＋１８）＝１７/２０となり、これは当然１８/２２より大きく１６/１８より小さくなりますね。 」

*ナイスですね♪

9/11,8/9そのものを(塩)/(塩+水)と考えて、二つを混ぜた濃度はその中間と考えればいいのか ^^

19631：ボールの個数は？...クイズ ^^

問題19631・・・http://sansuunomori.html.xdomain.jp/byou112.htm より 引用 Orz〜

ボールが何個かあります。ボールが４４個入る箱Aと、ボールが４９個入る箱Bがあります。箱Aの数は箱Bの数より１多いです。これらのボールを箱Aに入れていくと、３４個入りません。これらのボールを箱Bに入れていくと、２３個入りません。ボールは何個ありますか。

解答

・わたしの...

5b+23=44+34

b=11

so...49*11+23=562個

^^

19630：4個の連続する正の整数の積=2400...一番小さい数は？

問題19630・・・http://sansuunomori.html.xdomain.jp/byou109.htm より 引用 Orz〜

４個の整数a、b、c、dがあり、bはaより１大きく、cはbより１大きく、dはcより１大きいです。

a×b＋b×c＋c×d＋d×aを計算すると２４００になるとき、aは[　]です。

解答

・わたしの...

a(a+1)+(a+1)(a+2)+(a+2)(a+3)+a(a+3)

=(a+1)(2a+2)+(a+3)(2a+2)

=(a+1)(2a+2+2a+6)

=4(a+1)(a+2)=2400

(a+1)(a+2)=600

600=2^3*3*5^2

so...24*25

so...a=23

^^

19629：凸23角形...交わらない対角線の選び方は？

問題19629・・・やどかりさんのブログ https://okayadokary.blog.fc2.com/?no=3564#comment より Orz〜

　凸23角形の対角線は何本？　そのうちの交わらない２本の選び方は何通り？

「交わらない」は、凸23角形の内部または頂点で交わらないことを意味します。

解答

上記サイト https://okayadokary.blog.fc2.com/?no=3570#comment より Orz〜

[解答1]

　一般化して凸ｎ角形で考えます。

　対角線は１つの頂点において (n−3)本あり、頂点はｎ個、同じ対角線を２回数えるので、

　n(n−3)/2 本です。

　そのうちの２本の選び方は、

　_n(n-3)/2Ｃ₂＝｛n(n−3)/2｝｛n(n−3)/2−1｝/2＝n(n−3)(n²−3n−2)/8 通り、

　頂点で交わる２本の選び方は、

　n･_n-3Ｃ₂＝n(n−3)(n−4)/2 通り、

　内部で交わる２本の選び方は、頂点４個に対して１通りあるので、

　_nＣ₄＝n(n−1)(n−2)(n−3)/24 通りだから、

　交わらない２本の選び方は、

　n(n−3)(n²−3n−2)/8−n(n−3)(n−4)/2−n(n−1)(n−2)(n−3)/24

　＝n(n−3)｛3(n²−3n−2)−12(n−4)−(n−1)(n−2)｝/24

　＝n(n−3)(3n²−9n−6−12n＋48−n²＋3n−2)/24

　＝n(n−3)(2n²−18n＋40)/24＝n(n−3)(n²−9n＋20)/12

　＝n(n−3)(n−4)(n−5)/12 通りです。

　n＝23 のとき、23(23−3)/2＝230 本 、23(23−3)(23−4)(23−5)/12＝13110 通りです。


[解答2]

　一般化して凸ｎ角形で考えます。

　２つの頂点を結ぶと 辺か対角線なので、対角線は

　_nＣ₂−n＝n(n−1)/2−n＝n(n−3)/2 本です。

　頂点のうち４つを左回りにA，B，C，Dをとり、対角線AB，CDが交わらないものとします。

　Aの決め方が n通り、Aから左回りに凸ｎ角形の頂点に１からｎまでの番号をつけると、

　B，C，Dは３からｎまでの中から３つを C，Dが隣り合わないようにとることになります。

　３から n−1 の中から３つを選び、

　小さい２つの番号を B，C とし、最大の番号に１を加えたものを D にすれば条件を満たします。

　ただし、２本の選び方は同じものを２回ずつ数えることになるので、

　n･_n-3Ｃ₃/2＝n(n−3)(n−4)(n−5)/12 通りです。

　n＝23 のとき、23(23−3)/2＝230 本 、23(23−3)(23−4)(23−5)/12＝13110 通りです。

*[解答1]の方法でした ^^

[解答2]は言われてみたら上手いですわね♪