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Xを平面上の有限個の点の集合とする。ただし、全ての点が同一直線上に
並んでいるということはないとする。このとき、Xの点をちょうど
2点だけ通る直線が引けることを証明せよ。
解答
・わたしの...
n>=3 で、
3点以上の直線しか引けないとすると...
最大の直線の数はすべて3点の時なので...
nC3=n(n-1)(n-2)/6=n(n-1)(n-2)/6
n>=6以上では、n(n-1)2/3>n(n-1)/2=nC2
と、2点同士で引ける直線の数を上回ることになり矛盾
n=3のとき...明らか
n=4のとき...3点が1直線なら、残りの点と2点で結べる直線が引ける
□なら明らか...
n=5のとき...
4点が1直線のときは明らか3点と2点でも明らか
5角形なら明らか...
so...
2点しか結べない直線は存在する ^^ ↑
嘘でした...^^; Orz...
↓
・鍵コメT様からのもの Orz〜
nが6以上の場合の矛盾内容がわかりません．
例えば10点の場合，仮にどの直線も直線上にちょうど3点を含むとします． 10点から3点を選んで作った組(10C3組)の中には， 1つの直線上の3点もあり，そうでない3点の組もあるわけで， すると，10C3にはどういう意味があるのか不明です． ・・・確かに...無意味でしたわ ^^; Orz...
「シルベスターの問題」と言われる有名問題であり，
以下のような証明が知られています． Xの点2つが定める直線Lに対して，L上にないXの点のうち， Lからの距離が最小であるものをP(L)とし，その距離をd(L)とする． 可能なLは有限個だから，d(L)には最小値がある． 以下，d(L)を最小にする直線Lを考え，P(L)を改めてPとする． L上にXの点が3つ以上あると仮定し，その3点を，L上に並ぶ順にA,B,Cとする． PからLに下した垂線の足Hが，BよりもA側にあるとすると， 直線CP(Xの点2つが定める直線の1つ)にBから下した垂線は， 直角三角形CPHの内部に含まれ，その垂線長はPHより短い． これは，d(L)が最小値であったことに矛盾する． HがBよりもC側にある場合も同様に矛盾が導かれる． 以上より，d(L)を最小にする直線L上にはXの点は2つしかない． ・友人から届いたもの...
*『PからLに下ろした垂線でLを分けた時、同じ側にいる2点Q,Rが取れる』
が言えることって明らかなんだろか...?
*やっと意味がわかりましたわ ^^;v
↓
・鍵コメT様からのもの Orz〜
友人さんが示された証明は，私がコメントしたものと等価です．
背理法の仮定から，L上にはXの点が3点含まれます． よって，PからLに下した垂線の足でLを2つの半直線に分ける (垂線の足は一方に含める)とき，2つの部分の一方には2点が含まれます． これより，「同じ側にいる2点Q,Rがとれる」ことになります． (垂線の足がQである場合は多少「同じ側」に違和感はありますが， 論証には支障がないことが分かると思います． この違和感を避けて，私は「三角形の内部」という表現を用いました．) 友人さんの示された手順は次の通りです．
Xに属するどの2点を通る直線も，実際は3点以上を通ると仮定します． [1] Xの2点を通る各直線について，直線上にないXの点(前提から必ず存在)の うちで直線から最も近い点までの距離を考えます． 直線は有限本であり，この距離には最小値が存在するので， 最小値を与える直線をL，そのときの，直線上にない最も近い点をPとします． ・この段階では，LとPは定まっていますが， L上のXの点(3つ以上)には名前は付いていないことに注意してください． [2] PからLに下ろした垂線の足でLを2つに分けると，
(垂線の足自体はどちらの部分に入るとしてもよく， 何なら両方に入るとしてもよいです．) Xの点を3つ以上含むLが2つに分かれたので， その一方はXの点を2つ以上含みます． その2点を，垂線の足に近い方から順にQ,Rと名付けます． [3] 直線PRは，Xの点2つを通る直線なので，[1]の手続きから， 直線PRと「PR上にないXの点」との距離は，LとPとの距離以上のはずです． ところが，図からわかる通り，直線PRとQとの距離は LとPとの距離よりも小さいので，矛盾が生じています． *シンプルだけど、明らかにそう言えますわね ^^☆
エルデシュさんの感動が...お陰様で...わたしにもちょっぴり伝わって来ましたわ ^^♪
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コメント（6）
