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19739：負でない整数N,a(1)=M.a'n+1)=[a(n)/2],[ ]はガウス記号,0<=N<2^10でNから始まる数列a(n)のある項が2となるものはいくつ？

この花の名は...「アベリア」でしたよね ^^

アベマリアで覚えてました ^^;v

問題19739・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より引用 Orz～

解答

・わたしの...

(1)

a(3)=[a(2)/2]=1

a(2)=2,3

a(2)=[a(1)/2]=2・・・N=a(1)=4,5

a(2)=[a(1)/2]=3・・・N=a(1)=6,7

so...N=4,5,6,7

(2)

2-(4,5)-((8,9),(10,11))-(((16,17),(18,19)),((20,21),(22,23)))-...

1+2+2^2+...+2^(9-1)=2^9-1=512-1=511個

(3)

どのNにおいてもという意味だから...Nが最大の時で考える...

2が現れる個数は2^99-1

(2^99-1)/2^100<1/2

so...

2^7=128

so...2^93

so...2^7 なら...

2^7～2^99・・・2^7から1+2+2^2+...+2^92=2^93-1

この時...

(2^93-1)/2^100<1/2^7

so...m=2^7=128

かいなぁ...^^;

・鍵コメT様からのもの Orz～

(3)は，正しい結論だと思いますが，根拠は少々怪しいです．
そもそも題意は，「どのNについてもという意味」ではありません．
Nは初項であり，0～2^100-1までのどれかを等確率(1/2^100)で初項を選び，
値がmである項が登場する確率を1/100以下にする問題です．

数列{a[n]}の各項を2進法で表すと，各項を定める規則は，
「直前の項が2(=10[2])以上であれば，その末尾の数字をカットする．
直前の項が0,1であれば，新たな項は0とする．」
のようにすっきり表されます．
mを自然数として，この数列に値がmである項が登場するのは，
mを2進法で表したときの桁数をkとして，
「Nが2進法でk桁以上であり，かつ，Nの2進法表示で末尾から
0個以上の数字を除いてk桁としたときにmの2進法表示と同じになる」
場合です．

Nの範囲0≦N≦2^100-1のうち，Nが2進法表示でk桁未満の場合(2^(k-1)個)
は明らかに条件を満たさず，
k桁以上の場合は，{a[n]}の項のうちに2進法でk桁となるものが1つだけあり，
その項が，2進法でk桁の自然数2^(k-1)個のどれであることも等確率なので，
ある項がmとなるNは，(2^100-2^(k-1))/2^(k-1)通りあり，
題意の確率は，これを2^100で割って，1/2^(k-1)-1/2^100となります．
1/100以下となるのはk≧8の場合であり，求める最小のmは，
1000000[2]=128です．

してみると，(2)を同様に考えることもできるのがわかります．

0≦N<2^10を満たす2^10個のNのうちで，ある項が2=10[2]となるのは，
Nが2進法で2桁以上であり，a[n]のうちの2進法で2桁の項が
10[2]=2,11[2]=3のうちの2である場合であって，
その個数は，(2^10-2)/2=511(個)となります．

*2進法で考えるのが本質的な解法と思いますが...beyond me...^^; Orz～

*最大のmではないかと血迷った疑問を持ってましたが...^^;;

↓

・鍵コメT様からの解説頂戴 Orz～

「数列{a[n]}のある項がmとなる確率」は，紹介いただいたコメントから，
m=2,3に対して1/2-1/2^100,m=4,5,6,7に対して1/2^2-1/2^100,
m=8～15に対して1/2^3-1/2^100,…,m=128～255に対して1/2^7-1/2^100,
m=256～511に対して1/2^8-1/2^100のようになります．

確率が1/100以下となるmは，128以上の自然数すべてであり，
題意は当然「最小のm」です．

*そうでしたわ ^^;v

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19738：も解...^^

問題19738・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より引用 Orz～

解答

デジャヴー ^^

・わたしの...

(1)

f'(x)=3x^2-3=0

x^2=1

1根は-1から1の間にあり、

残りは...

f(-2)=--4, f(-1)=3・・・f(-2)とf(-1)との間にある

f(2)=5,f(1)=-1・・・f(1)とf(2)との間にある

(2)

x^3-3x+1=0

(x^2-2)^3-3(x^2-2)+1

=x^6-6x^4+9x^2-1

=(3x-1)^2-6x(3x-1)+9x^2-1

=0

(3)

α<β≠0<γ

α^2-2=αとすると、

α^2-α-2=(α+1)(α-2)=0・・・αは-1,2ではないので、α≠α^2-2

β^2-2・・・αだから、α^2-2がβ,γ^2-2がα になるしかないですね ^^

・鍵コメT様からのもの Orz～

(2)の2行目は「(x^2-2)^3-3(x^2-2)+1」が正しいです．

・・・赤字で訂正させていただきました ^^; Orz～

(3)「β^2-2…αだから」以下でやっていることがわかりません．
次のようにするのが普通かと思います．
3解の積が-1，3解の和が0だから，3解の1つが負で，2つが正であり，
α[1]<0<α[2]<α[3].
α[1]+α[2]+α[3]=0だから，絶対値は|α[2]|<|α[3]|<|α[1]|.
(2)より，(α[1])^2-2,(α[2])^2-2,(α[3])^2-2はすべてf(x)=0の解で，
(α[2])^2-2<(α[3])^2-2<(α[1])^2-2であることから，
(α[2])^2-2=α[1]，(α[3])^2-2=α[1],(α[1])^2-2=α[3].

なお，次のようにすることも可能です．

f(2cosθ)=8(cosθ)^3-6(cosθ)+1=2cos3θ+1だから，・・・なんで思いつけるのぉ!! ^^;
θ=2π/9,4π/9,8π/9に対して，x=2cosθはf(x)=0の解．
また，明らかに2>2cos(2π/9)>2cos(4π/9)>2cos(8π/9)>-2が成り立つ．
(1) 3次方程式f(x)=0の3解はx=2cos(2π/9),2cos(4π/9),2cos(8π/9)
であるから，題意は成り立つ．
(2),(3)
g(2cos(2π/9))=4(cos(2π/9))^2-2=2cos(4π/9),
g(2cos(4π/9))=4(cos(4π/9))^2-2=2cos(8π/9),
g(2cos(8π/9))=4(cos(8π/9))^2-2=2cos(16π/9)=2cos(2π/9)
であり，α[1]=2cos(8π/9),α[2]=2cos(4π/9),α[3]=2cos(2π/9)
であるから，題意は成り立つ．

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19737：分母の有理化...^^;

問題19737・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より引用 Orz～

解答

・わたしの...

(1)

(1+(√2+√3))(1-(√2+√3))=1-(√2+√3)^2=-4-2√6

so...

((√2+√3)-1)(√6-2)/(2(6-4))

=(2+√2-√6)/4

(2)

わからない...^^;

・鍵コメT様からのなるほどの解法 Orz～☆

単項式でない分母に普通の√が登場する場合，分母を有理化するには，
分母と分子に同じものをかけて(a+b)(a-b)=a^2-b^2を作ることを考えます．

同じように，単項式でない分母に3乗根記号(以下では[3]√と表します)が
登場する場合は，(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3…[*]や
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc…[**]を
作ることを考えればよいことになります．

本問の(2)の場合は[**]が便利です．
分母と分子に
9+4[3]√4+2[3]√2-6[3]√2-4-3[3]√4=5-4[3]√2+[3]√4をかけることで，
(5-4[3]√2+[3]√4)/(27+16+4-3*12)=(5-4[3]√2+[3]√4)/11
と結論が得られます．

*お気に入りぃ～♪

解答

・わたしの...

(10^10)^22-2^22+2^22

=((10^10)^11-2^11)((10^10)^11+2^11)+2^22

=((10^10)-2)((10^10)^10+...+2^10)((10^10)^11+2^11)+2^22

これを10^10-2 で割ったら...

2^22=1024^2*4<10^7

so...2^22/(10^10-2)<1

so...

2^10*2^11=2^21 の下一桁に等しい...

so...

4^2*2≡2 (mod 10)

もっと楽な方法は上記サイトへ Go～♪

アットランダム≒ブリコラージュ

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