アットランダム≒ブリコラージュ

19756：Max...^^;

問題19756・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

1+1/x+1/y+1/(xy)=1+2/(xy)=1+8/c^2=Min

(2)

(1+1/x)(1+1/y)(3z-4)/(3z)

=(1+1/x)(1+1/y)(-1-3(x+y))/(3z)

=-(1+1/x)(1+1/y)(4/(3z)-1)

=-(1+1/x)(1+1/y)(1/z+1+1/(3z)-2)

so...1/(3z)=2...z=1/6

x+y=5/6,x=y=5/12

Max{与式}=-(1+12/5)(1+12/5)(7/6)=-(17^2/25)(7/6)=-2023/150

全く自信なし...^^;

↑

芽茶 ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1) 「1+1/x+1/y+1/(xy)=1+2/(xy)」が意味不明です．
(1+1/x)(1+1/y)=(1+x+y+xy)/(xy)=(1+c+xy)/(xy)
=1+(1+c)/xy.
ここで，√(xy)≦(x+y)/2=c/2，等号はx=y=c/2で成立するので，
1+(1+c)/(xy)の最小値は1+(1+c)/((c/2)^2)=1+4(1+c)/(c^2). 

(2) zを0<z<1の範囲で固定すると，1-4/(3z)<0だから，
(1+1/x)(1+1/y)(1-4/(3z))は(1+1/x)(1+1/y)が最小のときに最大となり，
(1)より，(1+1/x)(1+1/y)の最小値は，c=1-zとおくとき，
(c^2+4c+4)/(c^2)=(1+1/c)^2.
このとき，
(1+1/x)(1+1/y)(1-4/(3z))=((1+1/c)^2)(1-4/(3(1-c)))であり，
これをf(c)として，
f'(c)=-4(1+2/c)(2c+1)(2c-1)/(3(c^2)((1-c)^2))となる．
よって，f(c)はc=1/2，つまりz=1/2,x=y=1/4のとき最大で，
最大値は-125/3. 

*[2]は負になることがわかれば...[1]を使えばと思ったのですが...

|1-4/(3z)|が最小になるときも併せて考えるべきだろうと思い始めて...

迷路に迷い込みました...^^;...

よく考えれば...|1-4/(3z)|がなんであろうが、[1]のときに変わりはないのでしたわ ^^;v

19755：t^6+t^5+t^4+t^3+t^2+t+1=0の複素数解を変革の小さい順に(α1)〜(α6)とする.(α1)+(α6)を解とする方程式は？

問題19755・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

t^7=1 のt=1以外の解...

(1)

(α6)=cos(12π/7)+isin(12π/7)

(2)

単位円で考えれば...

(α1)と共役なものは...(α6)

(3)

cos(2π/7)+cos(12π/7)

t^3+t^2+t+1+(1/t)+(1/t^2)+(1/t^3)=0

(t+1/t)=x

与式=x^3-3x+x^2-2+x+1=x^3+x^2-2x-1=0

でいいですよね ^^

19754：ベクトルの問題 ^^;

問題19754・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

r^2=((a)^2+4(a)(b)+4(b)^2)/(4(a)^2+4(a)(b)+(b)^2)

     =(1+4(a)(b)/(a)^2+(b)^2/(a)^2)/(4+4(a)(b)/(a)^2+(b)^2/(a)^2)

|(b)|=2|(a)|*t

     

     =(1+8t+4t^2)/(4+8t+4t^2)

r^2*(4t^2+8t+4)=4t^2+8t+1

4t^2(r^2-1)+8t(r^2-1)=1-4r^2

(t^2+2t)=(1-4r^2)/(4(r^2-1))

(t+1)^2=(1-4r^2)/(4(r^2-1))+1>=0

1/(1-r^2)>=0

r^2-1<=0

-1<=r<=1

r>=0

なので...

0<=r<=1

かいなぁ...^^

↑

何をやってるんだか ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

ベクトルaをv(a)，零ベクトルをv(0)のように表します．

まず，v(a)+2v(b)はv(0)ではないことから，r=0となるはずはありません．
また，rの値がkとなり得るなら，v(a)とv(b)を入れ替えることで
1/kともなり得るはずだから，rの上限と下限は互いに逆数となるはずです．

「|v(a)|=1,|v(b)|=kとでもして，r^2をkの式で表し，その範囲を考える」
というのが最も正統的な解き方だと思いますが，
次のようにするのがお手軽です．

|v(a)+(1/2)v(b)|<|v(a)+2v(b)|<|4v(a)+2v(b)|は明らかだから，
1/2<r<2.
v(b)を一定にし，v(a)の大きさを0に近づければrは2に近づき，
v(a)を一定にし，v(b)の大きさを0に近づければrは1/2に近づくから，
求める範囲は，1/2<r<2.

*後半の考え方...お気に入りぃ〜♪

19753：最初2枚とも表のコインをn回投げた時に、n回目に2枚とも裏になってる確率は？

問題19753・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

n-1回目に2枚とも表...g(n-1)

n-1回目にどちらかが表 h(n-1)

n-1回目に2枚とも裏...f(n-1)

g(1)=1/4

h(1)=1/2

f(1)=1/4

g(1)+f(1)=1/2

h(1)=1/2

h(2)=(1/2)^2+(1/2)^2=1/2

つまり...

n回目は...裏表になってる確率は...(1/2)

so...

f(n)=(1-1/2)/2=1/4

^^

↑

抜けてましたわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「裏裏」が生じるのは，「表裏」から表が裏にに変わる場合だけでなく，
「表表」や「裏裏」から2枚を投げて「裏裏」が出る場合もあります．

状態を，「2枚とも表」:A，「2枚とも裏」:B，「表裏1枚ずつ」:Cと名付け，
n回の操作後，各状態となっている確率をa[n],b[n],c[n]とする．
A,Bから1回操作すると，A,B,Cの状態がそれぞれ1/4,1/4,1/2で生じ，
Cから1回操作すると，B,Cの状態がそれぞれ1/2で生じるから，
a[n+1]=(1/4)a[n]+(1/4)b[n],b[n+1]=(1/4)a[n]+(1/4)b[n]+(1/2)c[n],
c[n+1]=(1/2)a[n]+(1/2)b[n]+(1/2)c[n]=1/2. 

(a[0],b[0],c[0])=(1,0,0)から，
(a[1],b[1],c[1])=(1/4,1/4,1/2),(a[2],b[2],c[2])=(1/8,3/8,1/2),
(a[3],b[3],c[3])=(1/8,3/8,1/2)となって，
n≧4に対して(a[n],b[n],c[n])=(1/8,3/8/1/2).

求める確率は，b[n]であり，
(n=0に対して0)，n=1に対して1/4，n≧2に対して3/8. 

*A,B,Cの各状態から，1回の操作でどんな状態に推移するかが重要です．

特に，状態C，つまり「表と裏が1枚ずつ」のときは，次の操作は，
「表になっている硬貨だけを投げる」から，裏の硬貨はそのままです．
すると，状態Cから1回の操作をすると，
状態B,状態Cに1/2ずつの確率で推移し，決して状態Aにはなりません．

例えばa[2]は，a[1]*1/4+b[1]*1/4=1/16+1/16=1/8のはずです．

*そうでした ^^;

了解でっす♪

19752：6*3^(3x)+1=7*5^(2x) を満たす0以上の整数xは？

問題19752・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

7*25^x-6*27^x>7*25^x-6*25^x=25^x

so...x=1以上では、差は25より大きくなる...

so...あるとすれば、x=0 のときで、

7-6=1で成り立つ ^^

(2)

cos(2θ)=(3/2)cosθ-1

2(cosθ)^2-1=3cosθ/2-1

4t^2-3t=0

cosθ=t=0 or 3/4

^^

↑

ダメダメ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

[1] x=0で(両辺)=7であり，x=2で(両辺)=4375であって，x=0,2は解．
また，x=1のとき，(左辺)=163,(右辺)=175で解でなく，
x=3のとき，(左辺)=118099,(右辺)=109375で(左辺)>(右辺)>100000.
以下，xを1ずつ増やすと，
「左辺は27倍して26を引くことになり，右辺は25倍することになる」
ことから，x=4,5,6,…に対して(左辺)>(右辺)>100000が帰納的に成り立つ．
以上より，解はx=0,2. 

[2] cosθ=t=0,3/4のとき，確かにcos2θ=(3/2)cosθ-1は成立しますが，
「cos(n+1)θ=(3/2)cos nθ-cos(n-1)θ」が成立する保証はありません．

cos(n+1)θ=(3/2)cos nθ-cos(n-1)θを変形して，
cos(n+1)θ+cos(n-1)θ=(3/2)cos nθ.
2cos nθcosθ=(3/2)cos nθ.
(cos nθ)(2cosθ-3/2)=0.
cos nθが自然数nの値によらず0となるようなθはないから，
これがすべてのnについて成り立つとき，cosθ=3/4.

*[1]は難しいわ ^^;

[2]は基本的な問題で解けなきゃいけませんでした ^^;;