アットランダム≒ブリコラージュ

19529：70〜90までの整数の和で表される異なった数の個数は？...

問題19529・・・https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-3559.html より 引用 Orz〜

70以上 90以下の２個以上の異なる自然数の和で表される数の個数は？

89＋90＜200 ，70＋71＋72＞200 なので、200は この条件では表すことができません。

70＋71＋72＋87 と表される 300のような自然数が何個あるかを求める問題です。

解答

上記サイト https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-3563.html より Orz〜

最小数は 70＋71＝141 、最大数は 70＋71＋72＋……＋90＝1680 で、

141以上 1680以下で、２個以上の異なる自然数の和で表されない数の個数を減じます。

例えば、４個の和で表される最小数は 70＋71＋72＋73＝286 、最大数は 87＋88＋89＋90＝354 で、

70＋71＋72＋d (d＝73，74，……，90) ，70＋71＋c＋90 (c＝72，73，……，89) ，

70＋b＋89＋90 (b＝71，72，……，88) ，a＋88＋89＋90 (a＝70，71，……，87) を考えれば、

４個の和で 286 から 354 までのすべての自然数が表されることが分かります。

同様に、ｋ個の自然数の和の場合は、

最小数の 70k＋(k−1)k/2 から 最大数の 90k−(k−1)k/2 までのすべての自然数が表されます。 

(k＋1)個の自然数の和の最小数は 70(k＋1)＋k(k＋1)/2 ですので、

70(k＋1)＋k(k＋1)/2＞90k−(k−1)k/2＋1 のとき、その間の自然数は和で表されません。

左辺から右辺を減じると、k²−20k＋69 で、この値が正のとき表されない自然数の個数です。

k²−20k＋69＝(k−10)²−31＞0 のとき、|k−10|≧6 、

また、2≦k≦20 だから、k＝2，3，4，16，17，18，19，20 です。 

(2−10)²＋(3−10)²＋(4−10)²＋(16−10)²＋(17−10)²＋(18−10)²＋(19−10)²＋(20−10)²−31･8＝231 、

141 から 1680 のうち和で表されない数が 231個だから、求める個数は 1680−140−231＝1309 です。


[参考] たけちゃんさんのコメントを参考に

　70 から 90 までの 21 個の数の総和は 70＋71＋72＋……＋90＝1680 ですので、

　ｋ個の数の和でｎが表せるか否か と (21−k)個の数の和で(1680−n)が表せるか否かは 一致します。

　840以下で表されるのが 840を含めて 644 個であることを確認すれば、

　840以上で19個以内の和で表されるのも 644 個であり、

　19個以内の和で表されるのは 644･2−1＝1287 個になります。

　20個の和で表されるのは 1840−90，1840−89，……，1840−70 の 21個、

　21個の和で表されるのは 1840 の 1個だから、1287＋21＋1＝1309 個です。

*いまだにピンと来ないわたしだす ^^;;

・友人からのもの...

最小は70+71=141　最大は70+71+……..+90=1680でこの間の整数は1680-140=1540個

これから問題のようにして表せない数を引き算する。

とる数によって分ける。例えば4個とると、70〜73から87~90の21C4通りを

辞書順にとっていくと求める和は1ずつ増える、途中で何回か逆戻りするが、増えるのは1ずつ

である。よって70+71+72+73=286から87+88+89+90=354まですべての整数

が出そろう。k個とるときの最小値をm(k)、最大値をM(k)とすると

M(k)<m(k+1)のとき、この間の数が表せないことになる

m(2)=141　　M(2)=179

m(3)=213　　M(3)=267

m(4)=286　　M(4)=354

m(5)=360　　M(5)=440

m(6)=435　　M(6)=525

m(7)=511　　M(7)=609

m(8)=588　　M(8)=692

m(9)=666　　M(9)=774

m(10)=745　　M(10)=855

m(11)=825　　M(11)=935

m(12)=906　　M(12)=1014

m(13)=988　　M(13)=1092

m(14)=1071　　M(14)=1169

m(15)=1155　　M(15)=1245

m(16)=1240　　M(16)=1320

m(17)=1326　　M(17)=1394

m(18)=1413　　M(18)=1467

m(19)=1501　　M(19)=1539

m(20)=1590　　M(20)=1610

m(21)=1680　　M(21)=1680

となり、表せない数の個数は

(212-179)+(285-267)+(359-354)+(1325-1320)+(1412-1394)+

(1500-1467)+(1589-1539)+(1679-1610)=231

よって1540-231=1309個

 

計算でいくとm(k)=k^2/2+139k/2　M(k)=-k^2/2+181k/2となり

m(k+1)>M(k)　となるkはk=2,3,4,16,17,18,19　で

上のようになる。

19528：求長...正六角形の辺の1/3分点の点でできる正六角形の同じく1/3分点でできる正六角形の1辺の長さは？...

画像：https://www.ryabina.jp/SHOP/MAT90020.html より 引用 Orz〜

「歴史好きな方におすすめ！！ロシアの最高権力者（大統領＆書記長＆皇帝）マトリョーシカ　１０ピースです。プーチン現大統領を筆頭に、エリツィン、ゴルバチョフ、アンドロポフ、ブレジネフ、フルシチョフ、スターリン、レーニンといったロシア、ソビエトの国家最高責任者がずらり！！

さらに帝政ロシア最後の皇帝・ニコライ２世と初代ロシア皇帝・ピョートル１世までそろっています。まさに「ロシアの歴史」を凝縮したマトリョーシカ！！　」

*みなさん、全部言えますのん？

99の壁出場者なら...朝飯前なんでっしゃろねぇ ^^

問題19528・・・http://www.sansuu.net/challenge/challengeq/challenge083q.htm より 引用 Orz〜

図のように、正六角形ＡＢＣＤＥＦの中に正六角形ＧＨＩＪＫＬがきっちり入っています。正六角形ＧＨＩＪＫＬの各頂点は正六角形ＡＢＣＤＥＦの各辺を３等分する点になります。同様に、正六角形ＧＨＩＪＫＬの中に正六角形ＭＮＯＰＱＲがきっちり入っていて、正六角形ＭＮＯＰＱＲの各頂点は正六角形ＧＨＩＪＫＬの各辺を３等分する点になります。正六角形ＡＢＣＤＥＦの１辺の長さが１８cmのとき、正六角形ＭＮＯＰＱＲの１辺の長さは何cmになりますか。

解答

・わたしの...

もう1回同じ角度だけ回すことになるので...

外側の中点を結んだ長さが1辺...

so...

18*√3/2=9√3 cm

ね ^^

↑

嘘でしたわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「ABを2:1に内分する点をG」のようにして，
「GLを2:1に内分する点をM」のようにすると，
中心から見てA,Mは同じ向きになりますが，
「外側の中点を結んだ長さが1辺」とする理由はないと思います．

ABの2:1の内分点がGで，AFの1:2の内分点がLだとすると，
△AGL=(1/3)*(2/3)*△ABF=(2/9)△ABF，つまり，
六角形ABCDEFの面積の1/6倍の2/9倍の面積です．
六角形GHIJKLは，六角形ABCDEFから三角形AGLを6個分除いた面積をもつので，
その面積は，六角形ABCDEFの7/9倍となるはずですね．

同様に，六角形MNOPQRの面積は六角形GHIJKLの7/9倍であり，
六角形ABCDEFからすれば(7/9)^2倍となるはずで，
すると，1辺の長さはABCDEFの7/9倍であり，14cmだと思います．

*鮮やかですね ^^;♪