アットランダム≒ブリコラージュ

19553：正の整数a<b,aからbまでの和=500となる(a,b)の組は？...クイズ ^^

問題19553・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku011q.htm より 引用 Orz〜

正の整数の組（a,b）で、a以上b以下の整数の総和が５００となるものをすべて求めよ。ただし、a＜bとする。

解答

・わたしの...

最低5の倍数

500/5=100

偶-奇-偶-奇-偶

つまり...

m+4m,24m だけね ^^

so...

m=100,20

so...

(a,b)=(98,102),(8,32)

^^

↑

前提がおかしかったです ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

[解1]
(a+b)/2*(b-a+1)=500から，(a+b)(b-a+1)=1000.
a+b,b-a+1は偶奇が異なり，a+b>b-a+1>1だから，
(a+b,b-a+1)=(125,8),(40,25),(200,5)であり，
(a,b)=(59,66),(8,32),(98,102).

[解2]
仮に負の整数も許すとして，奇数個(n個)の和を500にすることを考えると，
その中央の数は500/n (nは3以上の奇数)と表され，nは5,25,125に限る．

*nが3以上の奇数が肝でした ^^;...

n=5→500/5=100に，前後2個ずつを追加して，98から102.
n=25→500/25=20に前後12個ずつを追加して，8から32.
n=125→500/125=4に前後62個ずつを追加して，-58から66となり，
-58から58までを除くことで負数をなくして59から66. 

19552：素数pで割れる回数...^^

問題19552(アナロジー問)

pは素数...

以下の数はpで何回割れる？

(1) (p^n)^p

(2) (p^n)^n

(3) (p!)^p

(4) (p!)^n

(5) (p!)^(p!)

(6) (p^(p!))^n

(7) (p^(p!))!

解答

なはっ...できるのかどうか...?

また考えてみまっす ^^

19551：(p^n)!はpで何回割れる？...基本 ^^

問題19551・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku007q.htm より 引用 Orz〜

ｐを素数、ｎを正の整数とするとき、（ｐⁿ）！はｐで何回割り切れるか。

解答

デジャヴー  ^^

・わたしの...

p^n,p^(n-1),...,p

so...

n+(n-1)+...+1=n(n+1)/2 回

ね ^^

↑

嘘でした ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

例えば(3^4)!ならば，81!のことであり，1〜81には
3の倍数が27個，3^2の倍数が9個，3^3の倍数が3個，3^4の倍数が1個
より，81!は3で27+9+3+1=40(回)割り切れます．

(p^n)!がpで割り切れる回数は，
p^(n-1)+p^(n-2)+p^(n-3)+…+p+1=(p^n-1)/(p-1)となります．

*同じ轍を踏み続けてるわたし...^^;;

19550：n桁の自然数で、ちょうど2種類の数字でできている数は何個？

問題19550・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku006q.htm より 引用 Orz〜

（１）１０００から９９９９までの４桁の自然数のうち、１０００や１２１２のように

　　　ちょうど２種類の数字から成り立っているものの個数を求めよ。

（２）ｎ桁の自然数のうち、ちょうど２種類の数字から成り立っているものの個数を求めよ。

解答

・わたしの...

(1)

9*2^3*9=8*81=648個

(2)

9*2^(n-1)*9=81*2^(n-1)個

だと思うけど ^^

↑

ミスってます ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1)の「9*(2^3)*9」の意味を勝手に想像すると以下のようでしょうか．
・先頭の数字が9種類
・2桁目からは，先頭と同じ数字かそうでないかの二者択一
・先頭以外の数字が9種類
これだと，「すべての数字が先頭と同じ」場合がカウントされ，
しかもその場合に先頭以外の数字として9倍されています．

(1)の正しい式は9*(2^3-1)*9であり，結論は567個．
同様に，(2)は9*(2^(n-1)-1)*9=81(2^(n-1)-1)(個)となります．

*でしたわ ^^;v

19549：2n枚の白のカードと2枚の黒のカードを白いカードが偶数枚連続するような並べ方は何通り？

問題19549・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku004q.htm より 引用 Orz〜

ｎは自然数とする。２ｎ枚の白いカードと２枚の黒いカードを横１列に並べる。白いカードが偶数枚ずつ連続するような並べ方は何通りあるか。ただし、同じ色のカードは互いに区別しないものとする。

解答

・わたしの...

白を2枚ずつ分けて置き、その隙間と両端のn+1箇所に2枚の黒を入れる...

(n+1)*n+(n+1)=(n+1)^2 通り

ね ^^

↑

おかしかったあるね ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「(n+1)*n」だと，
n+1箇所のうちの2箇所(例えばAとB)に黒いカードを入れる場合を
A→B,B→Aの両方でカウントしてしまっています．
この考え方ならば，正しくは
(n+1)*n/2+n+1=(n+1)(n+2)/2
です．

n組の「白2枚組」，2枚の黒を並べるので，直接
(n+2)!/(n!2!)=(n+2)(n+1)/2(通り)
としてしまってもよいと思います．

*後半の発想が間違いなかったか... ^^;☆