2019年07月03日の記事一覧 - 詳細表示

19548：1<a<b<c, これらの異なる2つの和は,1+a～b+cまで連続した数となる.(a,b,c)=?

問題19548・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku003q.htm より引用 Orz～

４個の整数１、a、b、cは１＜a＜b＜cを満たしている。これらの中から相異なる２個を取り出して和を作ると、１＋aからb＋cまでのすべての整数の値が得られるという。a、b、cの値を求めよ。

解答

・わたしの...

4C2=6

1+a<1+b<{1+c or a+b}<a+c<b+c

b=a+1

1+c=1+b+1=a+b-1...a=3,b=4,c=5

c=b+1=a+2=2a...a=2,b=3,c=4

a+b=1+b+1=1+c-1...a=2,b=3,c=5

1,3,4,5

1,2,3,5

結局...

(a,b,c)=(3,4,5) or (2,3,5)

ね ^^

↑

なぜか抜けてる ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

2個取り出して得られる和は1+a,1+b,1+c,a+b,a+c,b+cであり，
1+a<1+b<1+c<a+c<b+c，a+bは1+bとa+cの間で1+cとの大小関係は不明
となります．
条件から，
・1+b=(1+a)+1,b+c=(a+c)+1が必要で，b=a+1.
・1+c=(1+b)+1またはa+b=(1+b)+1となり，c=b+1またはa=2.
・1+bとa+cの間に入れる数が2個までだから，a+c≦(1+b)+3，つまりa+c≦b+4.

a=2のとき，b=3，2+c≦b+4からc=4,5.
c=b+1のとき，c=a+2，a+(a+2)≦(a+1)+4からa=2,3.
結局，(a,b,c)=(2,3,4),(2,3,5),(3,4,5)となります．

*面白い問題でした ^^;♪

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19547：4つの素数の2つの和6種類から、元の4つの素数を求める...

問題19547・・・http://www.sansuu.net/koukou/koukouq/koukou026q.htm より引用 Orz～

４つの素数をa、b、c、d（a＜b＜c＜d）とする。この４つの素数から、２つずつとって作った和が、４０、６０、６６、８８、９４、１１４になった。

（１）a＋b＝[　]、b＋d＝[　]である。
（２）４つの素数a、b、c、dを求めなさい。

解答

・わたしの...

(1)

(a+b)<(a+c)<{(a+d) or (b+c)}<(b+d)<(c+d)

so...

a+b=40

b+d=94

(2)

40=3+37=11+29=17+23

114=47+67=43+71

so...

(a,b,c,d)=(17,23,43,71)

ね ^^

・鍵コメT様からのもの Orz～

正しいですが，(2)の根拠がよくわかりません．
114を2つの素数の和で表す表し方は，書かれているものに限るわけではなく，
7+107,13+101,31+83,43+71,61+53,67+47,73+41,97+17,103+11
が可能です．

*bが37,29,23なので...b+d=94 から...114の半分くらいのところから探してみました...いい加減 ^^;...

a+b=40,a+c=60,a+dとb+cは順不同で66と88，b+d=94,c+d=114.
c-b=20となり，bは最小の素数以外の素数だから奇数なので，
b+c=20+2bは4の倍数にはなり得ず，b+c=66,a+d=88.

a+b=40,a+c=60,b+c=66から，a+b+c=83を得て，a=17,b=23,c=43,d=88-a=71.

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19546：旧跡...△の底辺を4等分点からその△の面積を1/2にする直線の交点でできる△...

問題19546・・・http://www.sansuu.net/koukou/koukouq/koukou025q.htm より引用 Orz～

△ＡＢＣにおいて、辺ＢＣを４等分する点をＢに近い方から順にＤ、Ｅ、Ｆとする。また、Ｄを通り△ＡＢＣの面積を２等分する直線と、Ｆを通り△ＡＢＣの面積を２等分する直線の交点をＰとする。△ＡＢＣの面積が１２０であるとき、△ＰＤＦの面積は[　]である。

解答

・わたしの...

それぞれの直線は...

(3/4)(2/3)=1/2から...

AB,ACをそれぞれ1：2の点Q,Rで、その2点を結ぶ線QRはBCに平行...

so...

QR：DF=1/3：1/2=2：3

△AQR=(1/3)^2*△ABC

so...△PDF=(1/3)^2*(3/2)^2*△ABC

結局...

((1/3)(3/2))^2=1/4 なので...

△PDF=120/4=30 cm^2

^^

↑

赤字で訂正 ^^;

↑

これまた...ミスってましたわ ^^;; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

△AQR=(1/3)^2*△ABCまでは正しいと思いますが，
「△PDF=(1/3)^2*(3/2)^2*△ABC」が誤りです．
△AQR=△PQRと即断されたようですが，これは正しくありません．
実際は，QRを底辺としたときの高さは，
(Aの高さ):(B,D,F,Cの高さ)=1:2，(Bなどの高さ):(Pの高さ)=5:2であり，
(Aの高さ):(Pの高さ)=5:4となるので，
△PQR=(4/5)△AQR=(4/5)*(1/9)△ABC,
△PDF=(9/4)△PQR=(1/5)△ABC=24(cm2)です．

*失礼しました...^^;

いつもの勝手読みでしたばい...^^;;;

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19545：1～9から5個選んで横１列に並べるとき,奇数番目には必ず帰趨がある並べ方は何通り？

問題19545・・・http://www.sansuu.net/koukou/koukouq/koukou024q.htm より引用 Orz～

１から９までの整数が１つずつ書かれた９枚のカードがある。

この中から５枚選んで横一列に並べるとき、次の問いに答えなさい。

（１）左から数えて奇数番目には必ず奇数がある並べ方は何通りあるか求めなさい。
（２）奇数は、左から数えて必ず奇数番目にある並べ方は何通りあるか求めなさい。

解答

・わたしの...

(1)

5C3*3!*7*6=10*7*36=2520通り

(2)

5C3*3!*4*3=10*6*12=720通り

ってことかいなぁ ^^

↑

ミスってる ^^; Orz...

(2)は...わかりにくい文章ざんす...負け惜しみ ^^;;

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

(1)
(5C3)*3!は，「奇数を3つ選び1,3,5番目に並べる」意味で正しいと思います．
(ただし，5*4*3の方が直接的で楽ではあります．)
残りの部分は，まだ残っている数6個から偶数番目に2つを並べるので，
7*6ではなく6*5となりますね．
(5*4*3)*6*5=1800(通り)が結論です．

(2)は，書かれている式の意図がわかりません．
「奇数は必ず奇数番目」は，「奇数が偶数番目にはない」，つまり
「偶数番目は必ず偶数」という意味になるので，(1)と同様に考えて，
(4*3)*7*6*5=2520(通り)となります．

*奇数は必ず奇数番目=偶数番目は必ず偶数≠奇数番目は必ず奇数なのねぇ!!...^^;

(2)について，繰り返しになりますが，題意は「偶数番目は必ず偶数」であり，
奇数番目については制限はありません．

・2番目はどの偶数か(4通り)
・4番目は，残りの内のどの偶数か(3通り)
・1番目は，残りの内のどの整数か(7通り)
・3番目は，残りの内のどの整数か(6通り)
・5番目は，残りの内のどの整数か(5通り)
のように考えればよく，4*3*7*6*5通りです．

解答

・わたしの...

343-7n=m^2

7(49-n)=m^2

49-n=7,28

so...

n=42,21

ね ^^

アットランダム≒ブリコラージュ

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