アットランダム≒ブリコラージュ

19574：求長...△ABCの角Aの二等分線へのCからの垂線との交点をD,BCの中点をE.DEの長さは？

問題19574・・・ほげ様のサイト「みっちの隠れ家」http://micci.sansu.org/ より Orz〜

解答

ライブ問にてまたいずれ ^^

19573：8<=(a2)<=10,14<=(a4)<=16,19<=(a5)<=21を満たす等差数列{(an)}を求める...

問題19573・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku042q.htm より 引用 Orz〜

数列｛ａ_n｝は、初項ａおよび公差ｄが整数であるような等差数列であり、
　　８≦ａ₂≦１０
　　１４≦ａ₄≦１６
　　１９≦ａ₅≦２１
をみたしているとする。このような数列｛ａ_n｝をすべて求めよ。

解答

・わたしの...

(a2)+(a4)=2(a3)

2(a3)+2(a5)=4(a4)

so...

(a2)+2(a5)=3(a4)

(8〜10)+2(19〜21)=3(14〜16)=42,45,48

42-2*19=4...なし

45-2*19=7...なし

48-2*19=10

so...

(a2)=10,(a4)=16,(a5)=19

so...

(a1)=7=aで、公差3

so...

(ak)=7+(k-1)3=4+3k (k>=1)

ね ^^

↑

なぜか抜けてる ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのスマートな解法 Orz〜

「7,10,13,16,19,…」以外に，「4,8,12,16,20,…」も考えられます．

「a[4]はa[2]に2dを加えたもの，a[5]はa[2]に3dを加えたもの」
であることを元に考えると効率がよさそうです．

a[2]=8のとき，6≦2d≦8かつ11≦3d≦13であり，d=4.
a[2]=9のとき，5≦2d≦7かつ10≦3d≦12であり，適するdなし．
a[2]=10のとき，4≦2d≦6かつ9≦3d≦11であり，d=3. 

*お気に入りぃ〜^^♪

19572：1,2,3,4を重複を許して

問題19572・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku041q.htm より 引用 Orz〜

（１）４個の数字１、２、３、４を使ってできる５桁の整数について、以下の個数を求めよ。

　　　ただし、同じ数字を重複して使ってよいものとする。

　（a）２の倍数の個数
　（b）９の倍数の個数
　（c）２２０００以上の整数の個数

（２）前問と同じ方式で５桁の整数を独立に２個作り、それらをｍ、ｎとするとき、ｍ≦ｎとなる　　（ｍ，ｎ）の組の個数を求めよ。

解答

・わたしの...

(1)

 (a) 4^3*2^2=256個

 (b) 44442,44433,42111,33111,22221

　so...2*5+2*5!/(2!3!)+5!/3!=10+20+20=50個

 (c) 2*4^4+2*4^3+4^3=704個

(2)

5桁...4^5

5=1+4=2+3

つまり...ある桁以外が同じでも、大小に別れるので...

4^5/2=2*4^4

m<=n なので...

4^5+2*4^4=6*4^4=1536個

ね ^^

↑

ろくに完答できない ^^;;; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1)
(a) 一の位は2か4，他の位は4通りのどれでもよいので，2*(4^4)=512(個).
(b) 数字の組合せ「32211」の(5!)/(2!2!)=30(個)が欠落しています．
80個が結論です．
(c)は正しいと思います．

(2) 5桁の整数なら，4^5=1024(個)可能であり，
条件「m≦n」がなければ，1024^2=1048576(個)となります．

実際は，このうちm=nとなる1024個はそのまま数え，
それ以外については，m<nとm>nが同数だから，半分にすることになります．
1024+(1048576-1024)/2=524800(個)が結論です．

*イエッサーですばい ^^;v

19571：360を互いに素な自然数a,bの積で表す.(a,b)の組は何個？

問題19571・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku040q.htm より 引用 Orz〜

自然数 360 は２つの自然数aとbの積で表すことができる。

a、bが互いに素であるとすると、a、bの組（a,b）はいくつあるか。

ただし、例えば、（a,b）＝（1, 360）、（360, 1）は、異なる組としてあつかうこととする。

解答

・わたしの...

360=2^3*3^2*5

3種類...

2^3=8種類ね ^^

19570：自然数n、nとn^2+2がともに素数になるnは？...

問題19570・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku039q.htm より 引用 Orz〜

２以上の自然数ｎに対し、ｎとｎ^２＋２がともに素数になるのはｎ＝３の場合に限ることを示せ。

解答

・わたしの...

n^2+2も素数なら、n≠2

so...

n=3k±1

kが奇数ではnは偶数になるので、kは偶数

so...

n=6m±1

(6m±1)^2+2≡0 (mod 3)

so...

n=3k±1では、n^2+2が3の倍数になりダメ...

so...

あるなら、n=3 のときだけで...

3^2+2=11 で成立 ^^

↑

もっと簡単に言えるのでした ^^;

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

大筋は正しそうですが，細かいところはいろいろと変な気がします．
例えば，
・「n≠2. so n=3k±1.」つながっていません．
・3k±1について，kの偶奇の考察は不要だと思います．

以下のようになります．
n≠3とすると，nが素数であることから，nは3の倍数ではなく，
n=3k±1と表される．
このとき，n^2+2=9k^2±6k+3は3の倍数となる．
n≧2より，n^2+2≧6だから，n^2+2は6以上の3の倍数となって
素数とはなり得ない．
以上により示された．

*合点ですばい ^^;v