アットランダム≒ブリコラージュ

19564：各桁の数字が互いに異なりどの2つの桁の数字の和も9にならないようなもので小さい方から2000番目の正の整数は？

とってもスィート ^^♪

問題19564・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku030q.htm より 引用 Orz〜

次の条件を満たす正の整数全体の集合をＳとおく。
「各けたの数字はたがいに異なり、どの２つのけたの数字の和も９にならない。」
ただし、Ｓの要素は１０進法で表す。また、１けたの正の整数はＳに含まれるとする。

（１）Ｓの要素でちょうど４けたのものは何個あるか。
（２）小さいほうから数えて２０００番目のＳの要素を求めよ。

解答

・わたしの...

9-0

8-1

7-2

6-3

5-4

(1)

10*8*6*4-8*6*4=9*8*6*4=1920

(2)

1桁

9-1=8

2桁

10*8-8=72

3桁

10*8*6-8*6=9*48=432

ここまでで...80+432=512

2000-512=1488

so...4桁の1488番目

8*6*4=192

1488/192=7...3

so...

8023,8024,8025

so...8025 ね ^^

19563：5で割った商が余りよりも小さくかつ0以上の整数をすべて求める...基本 ^^

問題19563・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku029q.htm より 引用 Orz〜

５で割ったときの商が余りよりも小さくかつ０以上の整数であるような正の整数をすべて求めよ。

解答

・わたしの...

余り...4,3,2,1

5*(3,2,1)+4=19,14,9

5*(2,1)+3=13,8

5*1+2=7

容易じゃ...^^

↑

これもダメじゃぁ...^^;;; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「商は0以上」なので，0もあり得ます．
つまり，1,2,3,4,7,8,9,13,14,19が結論となります．

*ダメだこりゃ...^^;

OrZzzz...

19562：a,b,cは1以上n以下の整数.a<b かつa<=cとなる(a,b,c)の組は何通り？

まいぅ〜♪

問題19562・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku026q.htm より 引用 Orz〜

ｎを３以上の整数とし、a、b、cは１以上ｎ以下の整数とする。

このとき、以下の問いに答えよ。

（１）a＜b＜cとなるa、b、cの組は何通りあるか。
（２）a≦b≦cとなるa、b、cの組は何通りあるか。
（３）a＜bかつa≦cとなるa、b、cの組は何通りあるか。

解答

・わたしの...

(1)

1<=a<b<c<=n

a+1<b+2<c+3

a,b,c は1〜(n-3)

a=0・・・(n-3)C2

a=b=0・・・n-3

すべて0でないとき...(n-3)C3

so...(n-3)C3+(n-3)C2+n-3 通り

(2)

nC3 通り

(3)

a<b<c・・・(1)

or

a=c<b・・・nC2

 のときだから...

so...(n-3)C3+(n-3)C2+n-3+nC2 通り

かいなぁ ^^

↑

無茶苦茶でごじゃりました ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1)
シンプルに1〜nのうちで3つを選び，小さい順にa,b,cに割り振るだけです．
nC3=n(n-1)(n-2)/6(通り)ですね．

(2)
1≦a<b+1<c+2≦n+2だから，1〜n+2のうちで3つを選び，
小さい順にa,b+1,c+2に割り振ればよいです．
(n+2)C3=(n+2)(n+1)n/6(通り)となります．

「1〜nのうちで，重複を許して3つ選ぶ」と考えることもでき，
すると，nH3=(n+2)C3と立式することになります．

具体例を考えてみましょう．
n=5として，
(1) a<b<cとなる(a,b,c)は，
(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),
(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)です．
個数は10個で5C3と一致しますが，それよりも，ここで挙げられているのが，
「1,2,3,4,5から3つ選ぶ選び方」そのものであることがわかると思います．
(2) a≦b≦cとなる(a,b,c)は，(1,1,1)や(2,2,3)なども許容され，
1〜5で3つを，「重複を許して」選んでいることがわかりますね．

*解説グラッチェ〜m(_ _)m〜v

(3) a<b<cでもa=c<bでもないケース(a<c<bとかa<b=c)があり得ます．
a<b<cとa<c<bがそれぞれn(n-1)(n-2)/6通り，
a=c<bとa<b=cがそれぞれn(n-1)/2通り．
合計で，
2*(n(n-1)(n-2)/6+n(n-1)/2)=n(n-1)/3*(n-2+3)
=(n+1)n(n-1)/3(通り)です．

a=1なら，b:2〜nのn-1通り，c:1〜nのn通り．
a=2なら，b:3〜nのn-2通り，c:2〜nのn-1通り．
a=3なら，b:4〜nのn-3通り，c:3〜nのn-2通り．
…
のように考えて，
1*2+2*3+3*4+…+(n-1)*n
=1*2*(3-0)/3+2*3*(4-1)/3+3*4*(5-2)/3+…+(n-1)n((n+1)-(n-2))/3
=(1*2*3+2*3*4+3*4*5+…+(n-1)n(n+1))/3-(0*1*2+1*2*3+…+(n-2)(n-1)n)/3
=(n-1)n(n+1)/3
のようにすることも可能です．

*(3)は難ぃわ ^^;...

後半の考えで...

Σ[k=1〜n-1]k(k+1)

=(n-1)n(2n-1)/6+n(n-1)/2

=(n-1)n(2n+2)/6

=(n-1)n(n+1)/3

でもいいですね ^^