アットランダム≒ブリコラージュ

19778：証明...(n^2+1)(5n^2+9)は平方数でない。

夏休みで、孫が帰ってきた...悪魔はなりを潜めてたわ ^^;v

問題19778・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

5n^2+9-5(n^2+1)=4

n^2+1と4の最大公約数...n=1 の時、2

(2)

n^2+1 と 5n^2+9 の最大公約数が2なのだから...あるとしたら...4m^2

n^2≡0,1 (mod 4)

n^2+1≡1 or 2

5n^2+9≡1 or -1

これらの積は4m^2≡0 になれないので無理あるね ^^

↑

なってない ^^;

３回目の出場だったってのに...Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1) nによって最大公約数は異なります．
(2) 最大公約数の値によって場合分けが必要です．
また，最大公約数が2であるとして，5n^2+9≡1 or 2が正しいです．
(そもそも5n^2+9≡1 or -1であれば，5n^2+9は奇数であり，
最大公約数は2にはなり得ません．してみると，
最大公約数が2であるときは，n^2+1≡2，5n^2+9≡2 (mod 4)です．)

2数がともに，4を法として2と合同であるとして，
それは積が4m^2とならない根拠とはなりませんね．

けっこう最近の，問題19579(https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/folder/931624.html?m=lc&sv=19579&sk=0 参照) です．

*次出たら...完全にボケたと思ってくらはいまし...^^;;...

19777：√n の小数第一位が0,第2位が0以外になるnで小さい方から10番目のものは？

うなぎが高騰してると聞いてたけど...リーズナブルで嬉し ^^♪

問題19777・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

m+0.01<=n<m+0.10

m^2+0.02*m<n^2<m^2+0.2*m

m=51

so...51^2+2<=n<51^2+10

so...n=2603

(2)

2〜9

あと２個...

m=100

so...n=100^2+3,100^2+4=10004

ね ^^

↑

いい加減に過ぎてました ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

m+0.01≦n<m+0.10ではなく，m+0.01≦√n<m+0.10ですね．

半月前の，問題19687(https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/folder/931624.html?m=lc&sv=19687&sk=0 参照)です．

*は、半月前に出てた...^^;...もはや笑うしかない...苦笑を超えて...『空笑(そらわらい)』の域...^^;;

19776：計算...^^

行ってみたいな〜よその国ぃ〜^^♪

問題19776・・・https://blog.goo.ne.jp/difkou/e/7dae6be22a8dd26b926ca1fbf50cb138 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(2222-1)*(3333+1)-(2222+1)(3333-2)

=3*2222

=6666

^^

↑

全滅...支離滅裂...^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

結論の一の位はどう見ても1のはずですね．・・・確かに!!

1110=xとして，
(与式)=(2x+1)(3x+4)-(2x+3)(3x+1)=(6x^2+11x+4)-(6x^2+11x+3)=1.

19775：n^3-7n+9が素数になる整数nは？

問題19775・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

n=3m の時は明らかに3の倍数...

n=3m+1...

(3m+1)^3-7(3m+1)+9

=27m^3+27m^2+9m+1-21m+2

=27m^3+27m^2-12m+3...m=0 の時だけ...n=1

簡単すぎる気が...^^;

n=3m-1...

(3m-1)^3-7(3m-1)+9

=27m^3-27m^2-12m+15...m=1の時だけ...n=2

↑

ダメダメ ^^; Orz...

↓

・鍵コメY様からのもの Orz〜

n³−7n＋9＝(n−1)n(n＋1)−6n＋9 は常に３の倍数になりますので、
素数になるなら、n³−7n＋9＝3 、これを解いて、n＝1，2，−3 です。

・鍵コメT様からのもの Orz〜

n^3-7n+9=(n-1)n(n+1)-6n+9であり，
連続3整数の積が3の倍数であることから，これは3の倍数である．

これが素数となるとき，n^3-7n+9=3.
(n-1)(n-2)(n+3)=0となって，求めるnは，n=1,2,-3. 

*ご両人様のようにはなかなかいけないわたしだす...^^;...

19774：(a+2)^p-a^p を2pで割った余りは？...基本 ^^

問題19774・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

pCk...k=1〜(p-1)の場合は分子にpが残るので...pの倍数

(2)

pCk*2^k...k=1〜pまでなので...偶数

(3)

最後の、2^p/(2P)=2^(p-1)/p

ね ^^

↑

(3)はおかしかったわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(3) 「割ったときの余り」は整数になります．
2^(p-1)/pは，pが3以上の素数であれば，整数にはなりません．

(2)より，(a+2)^p-a^pは2で割り切れる．
また，(1)より，(a+2)^p-a^p-2^pはpで割り切れるから，
(a+2)^p-a^pをpで割った余りは，2^pをpで割った余りと一致する．

2^pをpで割った余りは，p=2のときは0であり，p≧3のときは2であるから，
求める余りは，p=2のとき0，p≧3のとき2．

*p≧3のとき，2^(p-1)≡1 (mod p)だからこそ2^p≡2 (mod p)です．

これより，(a+2)^p-a^pは，「偶数かつ，pで割って2余る」ことになります．
このことから，2pで割った余りは2に確定します．

なお，2^(p-1)≡1 (mod p)から直接2^p≡2 (mod 2p)とすることは可能です．

*了解でっす ^^♪