アットランダム≒ブリコラージュ

19754：ベクトルの問題 ^^;

問題19754・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

r^2=((a)^2+4(a)(b)+4(b)^2)/(4(a)^2+4(a)(b)+(b)^2)

     =(1+4(a)(b)/(a)^2+(b)^2/(a)^2)/(4+4(a)(b)/(a)^2+(b)^2/(a)^2)

|(b)|=2|(a)|*t

     

     =(1+8t+4t^2)/(4+8t+4t^2)

r^2*(4t^2+8t+4)=4t^2+8t+1

4t^2(r^2-1)+8t(r^2-1)=1-4r^2

(t^2+2t)=(1-4r^2)/(4(r^2-1))

(t+1)^2=(1-4r^2)/(4(r^2-1))+1>=0

1/(1-r^2)>=0

r^2-1<=0

-1<=r<=1

r>=0

なので...

0<=r<=1

かいなぁ...^^

↑

何をやってるんだか ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

ベクトルaをv(a)，零ベクトルをv(0)のように表します．

まず，v(a)+2v(b)はv(0)ではないことから，r=0となるはずはありません．
また，rの値がkとなり得るなら，v(a)とv(b)を入れ替えることで
1/kともなり得るはずだから，rの上限と下限は互いに逆数となるはずです．

「|v(a)|=1,|v(b)|=kとでもして，r^2をkの式で表し，その範囲を考える」
というのが最も正統的な解き方だと思いますが，
次のようにするのがお手軽です．

|v(a)+(1/2)v(b)|<|v(a)+2v(b)|<|4v(a)+2v(b)|は明らかだから，
1/2<r<2.
v(b)を一定にし，v(a)の大きさを0に近づければrは2に近づき，
v(a)を一定にし，v(b)の大きさを0に近づければrは1/2に近づくから，
求める範囲は，1/2<r<2.

*後半の考え方...お気に入りぃ〜♪

19753：最初2枚とも表のコインをn回投げた時に、n回目に2枚とも裏になってる確率は？

問題19753・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

n-1回目に2枚とも表...g(n-1)

n-1回目にどちらかが表 h(n-1)

n-1回目に2枚とも裏...f(n-1)

g(1)=1/4

h(1)=1/2

f(1)=1/4

g(1)+f(1)=1/2

h(1)=1/2

h(2)=(1/2)^2+(1/2)^2=1/2

つまり...

n回目は...裏表になってる確率は...(1/2)

so...

f(n)=(1-1/2)/2=1/4

^^

↑

抜けてましたわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

「裏裏」が生じるのは，「表裏」から表が裏にに変わる場合だけでなく，
「表表」や「裏裏」から2枚を投げて「裏裏」が出る場合もあります．

状態を，「2枚とも表」:A，「2枚とも裏」:B，「表裏1枚ずつ」:Cと名付け，
n回の操作後，各状態となっている確率をa[n],b[n],c[n]とする．
A,Bから1回操作すると，A,B,Cの状態がそれぞれ1/4,1/4,1/2で生じ，
Cから1回操作すると，B,Cの状態がそれぞれ1/2で生じるから，
a[n+1]=(1/4)a[n]+(1/4)b[n],b[n+1]=(1/4)a[n]+(1/4)b[n]+(1/2)c[n],
c[n+1]=(1/2)a[n]+(1/2)b[n]+(1/2)c[n]=1/2. 

(a[0],b[0],c[0])=(1,0,0)から，
(a[1],b[1],c[1])=(1/4,1/4,1/2),(a[2],b[2],c[2])=(1/8,3/8,1/2),
(a[3],b[3],c[3])=(1/8,3/8,1/2)となって，
n≧4に対して(a[n],b[n],c[n])=(1/8,3/8/1/2).

求める確率は，b[n]であり，
(n=0に対して0)，n=1に対して1/4，n≧2に対して3/8. 

*A,B,Cの各状態から，1回の操作でどんな状態に推移するかが重要です．

特に，状態C，つまり「表と裏が1枚ずつ」のときは，次の操作は，
「表になっている硬貨だけを投げる」から，裏の硬貨はそのままです．
すると，状態Cから1回の操作をすると，
状態B,状態Cに1/2ずつの確率で推移し，決して状態Aにはなりません．

例えばa[2]は，a[1]*1/4+b[1]*1/4=1/16+1/16=1/8のはずです．

*そうでした ^^;

了解でっす♪

19752：6*3^(3x)+1=7*5^(2x) を満たす0以上の整数xは？

問題19752・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

7*25^x-6*27^x>7*25^x-6*25^x=25^x

so...x=1以上では、差は25より大きくなる...

so...あるとすれば、x=0 のときで、

7-6=1で成り立つ ^^

(2)

cos(2θ)=(3/2)cosθ-1

2(cosθ)^2-1=3cosθ/2-1

4t^2-3t=0

cosθ=t=0 or 3/4

^^

↑

ダメダメ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

[1] x=0で(両辺)=7であり，x=2で(両辺)=4375であって，x=0,2は解．
また，x=1のとき，(左辺)=163,(右辺)=175で解でなく，
x=3のとき，(左辺)=118099,(右辺)=109375で(左辺)>(右辺)>100000.
以下，xを1ずつ増やすと，
「左辺は27倍して26を引くことになり，右辺は25倍することになる」
ことから，x=4,5,6,…に対して(左辺)>(右辺)>100000が帰納的に成り立つ．
以上より，解はx=0,2. 

[2] cosθ=t=0,3/4のとき，確かにcos2θ=(3/2)cosθ-1は成立しますが，
「cos(n+1)θ=(3/2)cos nθ-cos(n-1)θ」が成立する保証はありません．

cos(n+1)θ=(3/2)cos nθ-cos(n-1)θを変形して，
cos(n+1)θ+cos(n-1)θ=(3/2)cos nθ.
2cos nθcosθ=(3/2)cos nθ.
(cos nθ)(2cosθ-3/2)=0.
cos nθが自然数nの値によらず0となるようなθはないから，
これがすべてのnについて成り立つとき，cosθ=3/4.

*[1]は難しいわ ^^;

[2]は基本的な問題で解けなきゃいけませんでした ^^;;

19751：x^2+(a1)x+(b1)=0の解はx^2+(a2)x+(b2)=0の解...(ak),(bk)は整数...

問題19751・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

cd=b

ef=d

ab=f

so...

abc=1

(a,b,c)=(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,-1,1),(-1,1,-1)

x^2+x+1は実数解なし

後も整数解はない

so...

bdf=0 

b=0...cd=0,f=0

x^2+ax=0

x^2+cx=0

x^2+ex=0

a=c=e=任意の整数

a=c=e=0,b=d=f=-m^2

式は、b,d,fに関して対称なのでこれで全て...

so...

(a,b,c,d,e,f)=(a,0,a,0,a,0)・・・aは任意の整数・・・[I]

                =(0,-m^2,0,-m^2,0,-m^2)・・・mは任意の整数・・・[II]

(2)

(i)

(1)のタイプが周期するものが存在できる...so...[II]型なら満たす

(ii)

(1)のタイプは、方程式の個数が増えても論理の流れからは同じ結論になる...

so...

{{an},{bn}}={{a1,a1,a1,...},{0,0,0,...}}

{{an},{bn}}={0,0,0,...},{-n^2,^n^2,-n^2,...}}

で全てあるね ^^

↑

おかしかったあるね ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1) x^2+ax+b=0の2解がc,dであることから，cd=bは確かですが，
c+d=-aという条件も満たす必要があり，
(a,b,c,d,e,f)=(a,0,a,0,a,0)はa≠0のときこれを満たさず，
(a,b,c,d,e,f)=(0,-m^2,0,-m^2,0,-m^2)もm≠0のときこれを満たしません．
また，途中式で「abc=1」としているのは変です．

「cd=b,ef=d,ab=f」…[1]，「c+d=-a,e+f=-c,a+b=-e」…[2]．
[1]より，abcdef=bdfであり，
(ace-1)bdf=0.
よって，ace=1またはbdf=0. 

bdf=0のとき，b,d,fのうちに0があり，すると[1]よりb=d=f=0.
[2]よりa+c=0,c+e=0,e+a=0となり，a=c=e=0.
よって，(a,b,c,d,e,f)=(0,0,0,0,0,0)．

bdf≠0のとき，ace=1である．
a,c,eはすべて1，またはa,c,eの2つが-1で残りは1．
a=-cとすると，[2]よりd=0となり，bdf≠0に反する．
同様に，c=-e,e=-aも不適であるから，a=c=e=1に限る．
このとき，[2]より，b=d=f=-2であり，(a,b,c,d,e,f)=(1,-2,1,-2,1,-2).

(2)は，(1)が誤りである以上，これでは意味がありません．

(i) あるnについてb[n]=0である場合，
b[n+1]≠0と仮定すると，x^2+a[n]x=0の解がx=0,-a[n]であることから，
a[n+1]=0かつb[n+1]=-a[n].
すると，x^2+a[n+1]x+b[n+1]=0はx^2-a[n]=0となり，
これが整数解を持つことから，a[n]は平方数であり，
a[n+2],b[n+2]は±tと表される．(a[n]=t^2.)
x^2+a[n+2]x+b[n+2]=0，すなわちx^2+tx-t=0が整数解をもつことから，
x=(-t±√(t^2+4t))/2が整数であり，t^2+4tは平方数．
t^2+4t=s^2 (s≧0)とおいて，(t+2)^2-s^2=4から，(t+2+s)(t+2-s)=4.
t+2+sとt+2-sの偶奇が一致することにも注意して，
(t+2+s,t+2-s)=(2,2),(-2,-2)となって，t=0,-4. 

t=-4のとき，x^2+tx-t=0の2解はx=-2(重解)であり，
a[n+3]=b[n+3]=-2となるが，x^2-2x-2=0は整数解を持たず，不適．
よって，t=0となり，a[n]=0．
これは，x^2+a[n]x+b[n]=0がx^2=0であったことを意味し，
b[n+1}=0となって，仮定に反する．

よって，あるnについてb[n]=0であれば，b[n+1]=0であり，
以下帰納的に，0=b[n]=b[n+1]=b[n+2]=….

どのnについてもb[n]≠0である場合，
x^2+a[n]x+b[n]=0は0を解に持たず，解は0以外の整数．
|b[n]|=|a[n+1]b[n+1]|≧|b[n+1]|となり，
|b[n]|は増加しない自然数列．
よって，|b[n]|は，その最小値に到達すると，以下はすべて同じ値をとる．

(ii) 結論は，
「a[n]=k(-1)^n,b[n]=0」(kは整数)または「a[n]=1,b[n]=-2」
となります．
(1)と類似の議論ですが，少々めんどうでした．

*熟読玩味ぃ〜ですばい ^^;v

19750：正方形の回転...クイズ ^^

問題19750・・・https://blog.goo.ne.jp/difkou/e/3194f089ddb5a4e6b944c112a7d686a7 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...