アットランダム≒ブリコラージュ

19749：2^n>n^2+7...

問題19749・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

2^3=8<3^2+7=16

2^4=16

2^5=32=5^2+7=32

2^6=64>6^2+7=43

2^k>k^2+7

2*2^k>2(k^2+7)

2(k^2+7)-(k+1)^2-7=k^2-2k+6=(k-1)^2+5>0

つまり...

2^k>k^2+7・・・k=6 で成り立つ...

so...

2^(k+1)>2(k^2+7)>(k+1)^2+7

が成り立つ...

(2)

p=2のとき...

(1)の考察から...

2^5=5^2+7

p=奇素数のとき...

のとき、q=2 しかない...

p^2=2^p+7

平方数は(4m±1)^2≡1なのに、右辺≡3だから、存在しない ^^

結局...

(p,q)=(2,5) だけですね ^^

19748：求長...円と平行四辺形との交わり...

問題19748・・・算数にチャレンジ！！ http://www.sansu.org より Orz〜

図のような、平行四辺形ＡＢＣＤの各辺が、円と２回ずつ交わっています。（辺ＡＢと円の交点をＡに近い方からＥ、Ｆ、辺ＢＣと円の交点をＢに近いほうからＧ、H、辺ＣＤと円の交点をＣに近いほうからＩ、Ｊ、辺ＤＡと円の交点をＤに近いほうからＫ、Ｌとしています）

それでは、ＡＥ＝１cm、ＥＦ＝２cm、ＦＢ＝３cm、ＢＧ＝２cm、ＧＨ＝４cm、ＨＣ＝１cm、ＣＩ＝１cm、ＩＪ=３cm、ＫＬ＝２cmであることが分かっているとき、ＤＫの長さは何cmであるかを求めてください。

解答

ライブ問です...

入れないのはなぜか知らん...^^; 

どうも、問題に瑕疵があった模様ですね...^^

19747：条件を満たす実数(a,b)の範囲...

緑の衣纏うなり 竜王山 ^^

問題19747・・・https://mrp.carenet.com/d/mrpview/3458/?linkfrom=mrp_cnt_pointarea_end より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

f(x)=y

y^3-2y^2-y+2>=0

(y-1)(y^2-y-2)=(y-1)(y+1)(y-2)>=0

-1,1,2

so...

-1<=y<=1 or 2<=y

-(x^2+x+1)<=ax+b<=x^2+x+1

2(x^2+x+1)<=ax+b

x^2+x(a+1)x+(1+b)>=0 & x^2+x(1-a)x+1-b>=0

(x+(a+1)/2)^2+(1+b)-(a+1)^2/4>=0・・・(a+1)^2-4(1+b)<=0

(x+(1-a)/2)^2+(1-b)-(1-a)^2/4>=0・・・(1-a)^2-4(1-b)<=0

b>=(a+1)^2/4-1

b<=-(a-1)^2/4+1

-√3<=a<=√3

or

2x^2+x(2-a)x+(2-b)<=0

2(x+(2-a)/2)^2+(2-b)-(2-a)^2/2<=0・・・これは常には成り立たない

19746：最大値...円周上の点Pと直径AB上の点Q,角BPQ=π/3...

問題19746・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

under consideration...

(2)

これは...図から、y=半径=1/2 の時が最大になるので、xも1/2ですね ^^

↑

間違ってます ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(2)の結論はけっこう汚い値なので，(1)が解けないと苦しいと思います．

なお，(yを最大とするケースではありませんが，)例えば
x=1/√2にしたとき(つまり，三角形ABPを直角二等辺三角形にしたとき)，
y>(半径)=1/2であることは明らかですね．
つまり，y=1/2を与えるx=1/2は正しい結論ではありません．

・再考...

↑

直感は裏切られるもの ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

前回のコメントでも言及していますが，
「Pが一番てっぺんに来たとき」は，yが最大ではありません．
スモークマンさんの考察どおり，y=1/(1/(2sinθ)+(√3)/(2cosθ))です．
(sinθ=x,cosθ=√(1-x^2)であり，ここまでくれば，
(1)は解けたも同然です．y=(2x√(1-x^2))/((√3)x+√(1-x^2))となります．)
2/y=1/sinθ+(√3)/cosθ=f(θ)とおいて，
f'(θ)=-(cosθ)/(sinθ)^2+(√3)(sinθ)/(cosθ)^2
=((√3)(sinθ)^3-(cosθ)^3)/((sinθcosθ)^2)となり，
yが最大となるのは(√3)(sinθ)^3-(cosθ)^3=0のときです．
このとき，(tanθ)^3=1/√3であり，
tanθ=1/3^(1/6)，cosθ=1/√(1+1/3^(1/3))，
sinθ=(1/3^(1/6))/√(1+1/3^(1/3))=1/√(3^(1/3)+1)
となって，このsinθの値がそのまま求めるxです．

*なるほどですだ ^^☆

19745：算額...△と内接円...

問題19745・・・やどかりさんのブログ https://okayadokary.blog.fc2.com/?no=3575#comment より Orz〜

　△ABCの頂点Aから辺BCにおろした垂線をAHとします。

　△ABH，△AHC，△ABC の内接円の半径がそれぞれ 2，3，4 のとき、

　AB＝？　また、AC＝？

解答

上記サイト https://okayadokary.blog.fc2.com/?no=3580#comment より Orz〜

*同じような感じで...but...PCにおすがりしちゃいましたけど...^^;...