11599：2015!/10^502の一の位...

問題11599・・・インテジャーズ http://integers.hatenablog.com/entry/2015/12/19/000000 ;

より 引用 Orz〜

解答

・わたしの…

(1)

2015/5=403

403/5=80

80/5=16

16/5=3

so…

403+80+16+3=502個

(2)

2015!/10^502

2015/2=1007

1007/2=503

503/2=251

251/2=125

125/2=62

62/2=31

31/2=15

15/2=7

7/2=3

3/2=1

1007+503+251+125+62+31+15+7+3+1=2005

2005-502=1503

2-4-8-6-2・・・2^5=2

2^1503=2^4=6

1*2*3*…*10の0を除いた下一桁を...

1*3*3*7*9

から...

3^4*7=7 と考え…

2015!=7^201*(1*3)=3*7^201

7-9-3-1-7・・・7^4=1

so…

3*7^201=3*7=1

so…

6*1=6

答えは…4

なので…どこかがおかしいあるね ^^;…?

↑

どこがおかしいのかわかりましたわ ^^;v

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

2015!/(10^502)は2で割れるだけ割ると1503回割れます．
割った商の一の位は，1〜10については1*1*3*1*1*3*7*1*9と同じですが，
11〜20については1*3*3*7*3*1*7*9*9のように，別物となります．
2で割れるだけ割ってしまうと，かえって考えにくくなりそうです．

*了解 ^^;☆

2015!を5で割れるだけ割った商について，5で割った余りを考える．
2015!=(1*2*3*4)*(6*7*8*9)*…*(2011*2012*2013*2014)*(5^403)*403!
403!=(1*2*3*4)*(6*7*8*9)*…*(396*397*398*399)*401*402*403*(5^80)*80!
80!=(1*2*3*4)*(6*7*8*9)*…*(76*77*78*79)*(5^16)*16!
16!=(1*2*3*4)*(6*7*8*9)*(11*12*13*14)*16*(5^3)*3!
であり，5の倍数を含まない4連続整数の積は5で割って4余るから，
2015!/(5^(403+80+16+3))≡(4^(403+80+16+3))*1*2*3*6 (mod 5).
2015!/(5^502)≡((-1)^502)*1*1≡1 (mod 5).
2015!/(10^502)≡k (mod 10) とすると，kは明らかに偶数であり，
(2^502)k≡1 (mod 5) より，4k≡1 (mod 5)となって，求める一の位は4. 

*なんとか了解できましたぁ♪

2^4=1　mod 5

2^502=2^2=4

4*2=8, 4*4=16, 4*6=24, 4*8=32

so…

k=4

とわかるのねぇ ^^v