素敵な問題

問題11892・・・http://sugaku-omoshiroi-mondai.hateblo.jp/entry/20150321/p7

より引用 Orz～

いかなるｎに対しても，連続するｎ個の自然数で，
そのどれもが素数の自然数乗でないものが
存在することを示せ。

（IMO・1989）

解答

・わたしの…

p(n)=n番目の素数...

(2*3*5*7*11*…*p(n))^2+1～+(n-1)

は満たしてると思うけど…^^;…?

↑

駄目でごじゃった…^^; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

例えば(2*3)^2+1=37=37^1は素数の自然数乗です．
素数の1乗でもダメなところが少々厄介なところです．

[解1]
中国の剰余定理から，「どの2つも互いに素である自然数A,B,…について，
それぞれで割った余りを指定すると，積AB…で割った余りが1つ定まる」
ことに注意する．
k番目の素数をp[k]として，
2,3を法として-1と合同，
5,7を法として-2と合同，
…，
p[2n-1],p[2n]を法として-nと合同であるような自然数が存在する．
このような自然数の1つをNとすると，
N+1,N+2,…,N+nはいずれも2種類以上の素因数を持ち，
したがってどれも素数の自然数乗ではない．

[解2](スモークマンさんのを直すとすると)
k番目の素数をp[k]とし，
Y=(p[1]p[2]…p[n]p[n+1])^n+k+1 (k=1,2,…,n)とすると，
Yはk+1の倍数だから，素数ではない．
Yが素数の自然数乗となるとすれば，k+1=p^m (pは素数，mは自然数)
と表され，Yがpの自然数乗となる場合に限られる．
ここで，pはp[1],p[2],…,p[n+1]のいずれかであり，
(p[1]p[2]…p[n]p[n+1])^nはpでn回割り切れ，またn>mであるから，
Yはp^mの((pの正の倍数)+1)倍である．
これより，Yはpの自然数乗とはなれないから，素数の自然数乗ではない．

*n>mを抑えておくのが肝ですね ^^☆