素敵な問題

問題12126・・・http://blog.goo.ne.jp/0424725533/e/d72a980b0cfd402bdc16fb621d24bf81

より引用 Orz～

　　　　　　　　　実数ａ、ｂ、ｃ、ｄが

　　　　　　　　　　　をみたすとき、

　　　　　　　　　のとりうる最小の値を求めよ。

　　　　　　　　　　 (２０１６年日本数学オリンピック予選)

解答

・わたしの…

さすがにこれは…

(1/2)(2a^2+2b^2+2c^2+2d^2-2(ab+ac+ad+bc+bd+cd))

=(1/2){(a-b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2}

>=0

so…

a^2+b^2+c^2+d^2>=(2+3+4)/2=5/2=Min

↑

なはっ…朝飯前じゃなかったわ ^^;; Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

(2+3+4)/2は5/2ではなく9/2です．ただし，最小値は9/2ではありません．
「(1/2){(a-b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2}>=0」
の等号成立条件はa=b=c=dであり，
(a+b)(c+d)=2,(a+c)(b+d)=3,(a+d)(b+c)=4のときは明らかに不成立です．

a^2+b^2+c^2+d^2=(a+b+c+d)^2-((a+b)(c+d)+(a+c)(b+d)+(a+d)(b+c))
=(a+b+c+d)^2-9
なので，(a+b+c+d)^2を最小にすればよい．
a+b+c+d=kとおく．
このとき，(a+b)(k-(a+b))=2より，a+b=xとしてx^2-kx+2=0.
これが実数解をもつから，k^2-8≧0.
同様に，(a+c)(k-(a+c))=3からk^2-12≧0，(a+d)(k-(a+d))=4からk^2-16≧0．
以上よりk^2≧16であり，a^2+b^2+c^2+d^2≧16-9=7.
等号成立には，例えばk=4，a+b=2+√2，a+c=1，a+d=2とすればよく，
a=(1+√2)/2,b=(3+√2)/2,c=(1-√2)/2,d=(3-√2)/2とすればよい．

以上より，最小値は7．

*浅はかだったわ…^^;;… 納得ぅ♪