素敵な問題

問題12257(2017JMO)

a+b=c+d+e=29となる相異なる正の整数の組（a,b,c,d,e）はいくつあるか。

解答

・わたしの…

a+b=29

28通り

c+d+e・・・m<m+1<m+2・・・26個と2個…28C2=14*27=378

左辺と右辺に同じ数字があるとすると…

c=1…29-3=26…25-1=23

c=2…29-6=23…22

c=3…29-9=20…19-1=18

c=4…29-12=17…16

c=5…29-15=14…13-1=12

c=6…29-18=11..11

c=7…29-21=8…7-1=6

c=8…29-24=5…4

c=9…29-27=2…1-1=0

so…

28*(378-3*(23+22+18+16+12+11+6+4))=1176通り

かなぁ…^^;

↑

意味不明のことをやらかしてましたぁ ^^;…Orz…

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

次のようになると思います．

(c,d,e)の組は，
○が29個の間隔28箇所から2箇所を選んで|を入れる入れ方が28C2=378(通り)，
このうちc=dとなるものが，c=dの値として1から14までがあり得て14通り，
同様にc=eとなるものが14通り，d=eとなるものが14通りあって，
それを除くと，378-14*3=336(通り)．

これに対して，(a,b)の組は，(1,28),(2,27),…,(28,1)の28通りのうち，
aがc,d,eのいずれかと等しい3通りと，bがc,d,eのいずれかと等しい3通り
が禁止され，28-6=22(通り)．

以上より，求める数は，336*22=7392(通り)．

*奇麗に整理された発想ですね☆