14846：証明...互いに素な正の整数x,y,xy≠1, nは正の偶数 のとき、x+y は x^n+y^n の約数ではない...

問題14846(友人問)

xとyは互いに素な正整数で、xy≠1とし、nは正の偶数とする。

このとき、x+y は x^n+y^n の約数ではないことを証明せよ。

解答

・わたしの...

x<y とする...

x(x+y)<x^2+y^2<y(x+y)

x<(x^2+y^2)/(x+y)<y

(x^2+y^2)=(x+k)(x+y)=(y-t)(x+y)

x+k=y-t

y-x=k+t

(x+y)(x+y+k-t)=(x+y)^2+(k-t)(x+y)=2(x+y)^2

x+y+k-t=2(x+y)

k-t=x+y

so...

y=k,x=-t

これは矛盾...

同様に...

x^4+y^4 は x^2+y^2 で割れない...

つまり...x^4+y^4=(x^2+y^2)*g(x) で表せない...

x^2+y^2がx+yを因子として持っていれば...x^4+y^4もx+yを因子に持てるが、

それは無理...

その繰り返しで...x^(2m)+y^(2m)はx^(2m-2)+y^(2m-2)で割れず...

x^(2m-2)+y^(2m-2)はx^(2m^4)+y^(2m-4)で割れず...

...x^4+x^4はx^2+y^2で割れず...

x^2+y^2はx+yで割れない...

何かどこかがおかしあるか...^^;...?

↑

滅茶苦茶でごじゃりましたわ ^^;;...Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

・「(x+y)^2+(k-t)(x+y)=2(x+y)^2」はどこから来たのかわかりません．

*見直してみると...本当に出鱈目でしたわ...^^;

・「x^4+y^4がx^2+y^2で割り切れず，x^2+y^2がx+yで割り切れない」
が言えたとして，それはx^4+y^4がx+yで割り切れない根拠にはなりません．
(AはBで割り切れず，BはCで割り切れないとしても，
AがCで割り切れないとは言えません．(例)A=9,B=4,C=3.)
・x^2+y^2がx+yで割り切れないことが言えれば，
同様にして(x^2)^2+(y^2)^2がx^2+y^2で割り切れないことが言えますが，
「x^6+y^6がx^4+y^4で割り切れないこと」は，同様には示せないと思います．

*ですよね ^^;;

自分でもおかしい気がしたのですが...いいような気もしたもので...なはっ ^^;;;

x+yとxyが共通素因数pをもつとすれば，x,yの一方はpの倍数であり，
x+yもpの倍数だから，x,yはともにpの倍数となる．
これは，x,yが互いに素であることに反するから，x+yとxyは互いに素．…[*]
kは負でない整数として，
x^(k+2)+y^(k+2)=(x^(k+1)+y^(k+1))(x+y)-xy(x^k+y^k)だから，
x^(k+2)+y^(k+2)がx+yで割り切れるのは，
xy(x^k+y^k)がx+yで割り切れるときに限り，
[*]よりx^k+y^kがx+yで割り切れるときに限る．
よって，「x^k+y^kがx+yで割り切れないとき，
x^(k+2)+y^(k+2)もx+yで割り切れない．」…[**]
xy≠1よりx+y>2だから，x^0+y^0(=2)はx+yで割り切れず，
[**]を繰り返し用いて，nが正の偶数のとき，x^n+y^nはx+yで割り切れない．

*流れるような気持ちよい解法ですぅ〜^^♪