15994：証明...25個の小石を2つに分けて最後に1個の山になるまで続け,その都度の2つに分けた小石の積の和=300になる...^^;

問題15994(友人問)

25個の小石が山になっています。この山を2つに分け、分けたものを

さらに2つに分け、という操作を25個の別々の石になるまでつづけます。

山を2つに分けるたびに、2つの山の石の数の積を黒板に書いていきます。

最後には黒板に書かれた数の和が300になることを示せ。

解答

・わたしの...

1が25個の状態から逆算...

25/2=12...1・・・1*1*12=12

so...

2が12個と1が1個・・・2*2*6

(4が6個と1が1個) ・・・4*4*3

(8が3個と1が1個)・・・8*8+8*1

(16が1個と9が1個)・・・16*9

so...

16*9+8*8+8*1+4*4*3+2*2*6+12=300

みたいなことでいいのかしらん...^^;

・鍵コメT様からのコメ Orz〜

「分ける順番によらず300になる」ことを示す問題です．

示されている解答は，
25→16+9→(8+8)+(8+1)→(4+4)*3+1→(2+2)*6+1→(1+1)*12+1
の分け方の場合についてしか調べていないことになると思います．

ささいなヒントです．

300とは，25C2です．
「25個から2個を選ぶ選び方」との対応を考えればよいかと思います．

*ヒントから...再考...^^

m*(k+1-m)+(k+1-m)C2
=m(k+1-m)+(k+1-m)(k-m)/2
=(k+m-1)(k+m)/2
=(k+m)C2
so...
2C2=1
3C2=1*2+2C2
4C2=1*3+3C2=2*2+2C2
なので...
k個を1個にバラにする操作の積の和がkC2で表されるなら...
k+1個のときは(k+1)C2
so...
25個のとき、25C2=300
でいいかしらん ^^

・鍵コメT様からの閃き的解法 Orz〜

次の見方が簡明だと思います．

同じ山にある2個の小石には「絆」があるものとします．
山を2つに分けることで，いくつかの絆を切ることになります．
切る絆の個数は，「2つの山の石の数の積」であり，
最終的に，すべての絆が切られることになるので，
その合計は25C2となります．

*ついていけてないわたし...^^;...で...

より、噛み砕いてくださったもの...Orz〜

小石ではなく人であることにして考えます．
はじめは25人が1つのグループになっています．

グループを分割するとき，同じグループでなくなる2人は，
メールアドレスを交換するとすれば，
a人をb人とc人に分ける際，アドレス交換はb*c組で行われますね．
(b人のグループの各人とc人のグループの各人の間で，もれなく行われます．)

最終的にすべてのグループが1人となるまでに，
どの2人組についてもアドレス交換は行われ，
その総数は25C2となります．

*まだ、よく分かってませんですだ...^^;;

A,B,C,D,…,Yの25人として，グループの分割を繰り返すと，
どこかで1回だけAとBのアドレス交換が起こります．

他の2人組についても同様であり，アドレス交換は，
A-B,A-C,A-D,…,A-Y,B-C,B-D,…,B-Y,C-D,…
のように，すべての2人組について1回ずつ起こります．
すると，総数はA〜Yのうちの2人の選び方の数となりますね．

*これでもピンとこなかったわたし...^^;;;

別の例えで．．．

A〜Yの25人は，ある碁会所のメンバーです．
その碁会所では，手合いカードは組合せ別になっていて，
「AB」とか「AC」とか「XY」とかのカードが1枚ずつ用意されています．
当然ながら，カードの総数は25C2となります．

↑

ここが秀逸ね v☆☆v

ここで，碁会所が2つに分かれることになり，
例えば「A〜M」と「N〜Y」に分かれたとします．
「AB」，「AC」といったカードは「A〜M」の碁会所に移され，
「XY」などのカードは「N〜Y」の碁会所に移されますが，
AN,AO,AP,…,AY,
BN,BO,BP,…,BY,
CN,CO,CP,…,CY,
…,
MN,MO,MP,…,MY
のカードは不要となるので，廃棄されるとしましょう．
廃棄される枚数は，「A〜M」の人数13と「N〜Y」の人数12の積156ですね．

このように，碁会所の分裂が起こるたびにカードが廃棄されていくと，
「a人+b人」に分かれるときに，a*b枚のカードが廃棄され，
最終的にはすべてのカードが廃棄されるので，

廃棄される枚数の合計は，初めの枚数と同じ25C2となりますね．

*この解説でやっと目が開きましたぁ ^^♪

なんども説明していただき感謝です〜m(_ _)m〜v

それにしても柔軟な発想ね!!