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解答
・わたしの...
x,y,zを3恨にもつ3次方程式は...
t^3-pt^2+qt-r=0
t^4=pt^3-qt^2+rt
=p(pt^2-qt+r)-qt^2+rt
=(p^2-q)t^2+(r-pq)t+pr
x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=p^2-2q
x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=(xy+yz+zx)^2-2xyz(x+y+z)=q^2-2pr
so...
x^4+y^4+z^4
=(p^2-q)(p^2-2q)+(r-pq)p+3pr
so...
与式
=(p^2-q)(p^2-2q)+(r-pq)p+3pr-2(q^2-2pr)
=p(p^3-4pq-q+8r)
のはずね ^^
↑
なんかミスってました ^^; Orz...
↓
・鍵コメT様からの華麗な解法 Orz〜☆
最終結論は，p(p^3-4pq+8r)，すなわちp^4-4(p^2)q+8prとなります．
(pqの項はx,y,zについての3次の項となり，登場するはずはありません．) 「展開した多項式」なので，pでくくらない形の方がよいでしょうね． 書かれている方法が標準的だと思いますが， x^4+y^4+z^4-2(x^2)(y^2)-2(y^2)(z^2)-2(z^2)(x^2)は， -(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)の展開結果であること(*)を知っていれば， -p(p-2x)(p-2y)(p-2z)=-8p(p/2-x)(p/2-y)(p/2-z)と考えて， 恒等式(t-x)(t-y)(t-z)=t^3-pt^2+qt-rから， (与式)=-8p((p/2)^3-p(p/2)^2+q(p/2)-r) =p^4-4(p^2)q+8pr と求めることもできます． なお，(*)は，ヘロンの公式の根号内を展開した経験があれば， 思い浮かべることができる可能性があると思います． *逆にこの形式の因数分解は...
x^4+y^4+z^4-2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)=-(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)
になるんですねぇ♪
ｘの降べき順に整理する
x^4 ＋ y^4 ＋ z^4 − 2x^2 y^2 − 2y^2 z^2 − 2z^2 x^2 ＝ x^4 − 2(y^2+z^2)x^2 ＋ y^4 ＋ z^4 − 2y^2 z^2 ＝ x^4 − 2(y^2+z^2)x^2 ＋ (y^2 - z^2)^2 ＝ x^4 − 2(y^2+z^2)x^2 ＋ (y-z)^2 (y+z)^2 ＝ { x^2 - (y-z)^2 } { x^2 - (y+z)^2 } ＝ { x - (y-z) } { x + (y-z) } { x - (y+z) } { x + (y+z) } ＝ (x-y+z) (x+y-z) (x-y-z) (x+y+z) ＝ - (x+y+z) (-x+y+z) (x-y+z) (x+y-z) 」 *難しそうねぇ ^^;v
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コメント（1）
