6747：平等な分割...

画像：http://www.y-morimoto.com/kyoto_isan/byodoin.html より 拝借 Orz〜

http://ja.wikipedia.org/wiki/平等院 より Orz〜

「平等院は、京都府宇治市にある藤原氏ゆかりの寺院。平安時代後期・11世紀の建築、仏像、絵画、庭園などを今日に伝え、「古都京都の文化財」として世界遺産に登録されている。山号を朝日山と称する。宗派は17世紀以来天台宗と浄土宗を兼ね、現在は特定の宗派に属さない単立の仏教寺院となっている。本尊は阿弥陀如来、開基は藤原頼通、開山は明尊である。また鳳凰堂が十円硬貨の表の絵柄として有名である。」

問題6747(某サイトより...Orz〜)

1,2,3,4 を 2 つずつの数からなる 2 グループに分け,各グループの合計を等しくすることは簡単

で,1 と 4 のグループ,2 と 3 のグループに分ければ 1+4 = 2+3 だ。

では,1 からの 8 までの数を 4 つずつの数からなる 2 グループに分け,合計と 2 乗合計を両方と

も等しくしてほしい。

つまり,1 からの 8 までを a1, a2, a3, a4 と b1, b2, b3, b4 にグループ分けして, 

a1 +a2 +a3 +a4 = b1 +b2 +b3 +b4,

a1^2 +a2^2 +a3^2 +a4^2 = b1^2 +b2^2 +b3^2 +b4^2

となるようにしてほしい。

さらに一般に,1 から 2^(k+1) までの数を2^k 個ずつの数からなる 2 グループに分け,

(1 乗)合計,2 乗合計,3 乗合計,......,k 乗合計を全て等しくすることができるだろうか。

できるならばその方法を,できないならその証明を与えてほしい。 

(↑の赤字の部分を訂正しました…鍵コメT様ご指摘グラッチェ Orz〜)

解答

わたしにゃわかりませんでしたけど…^^;

これは以下のサイトの問題でした Orz〜

↓

http://kosenconf.jp/?031sciences

・鍵コメT様のもの Orz〜

要素数が等しい2つのグループA,Bの要素について，
m乗和(m=1,2,…,M)がどれも互いに等しい
(つまり，Σ[x∈A]x^m=Σ[x∈B]x^m)とすると，
任意の実数cに対してΣ[x∈A](x+c)^m=Σ[x∈B](x+c)^mとなること，
つまり，両方のグループの数に，いっせいに同じ数を足しても，
同様の性質をもつことが容易に確かめられ，
さらに，
A'をAの要素にcずつ足したもの，B'をBの要素にcずつ足したものとすると，
A,A',B,B'に共通の要素がなければ，
A∪B'とB∪A'は，M+1乗和までについて，すべて等しいことがわかります．

これより，条件を満たすには，
{1,4},{2,3}からはじめて，
4ずつ足して入れ替えたものを付け加えた
{1,4,6,7},{2,3,5,8}
8ずつ足して入れ替えたものを付け加えた
{1,4,6,7,10,11,13,16},{2,3,5,8,9,12,14,15}
のように進めていけばよいことになります．

この作り方は，次のようにまとめることもできます．
ABBAから出発し，
ABを入れ替えた列を末尾に追加することを繰り返す．
(あるいは，AとあるところはすべてABに，BとあるところはすべてBAに書き換える)
ABBABAAB
ABBABAABBAABABBA
ABBABAABBAABABBABAABABBAABBABAAB
のようになるが，
この列のAとなっている番号とBとなっている番号に分ければよい．

この列は，次の顕著な性質をもちます．
[性質] 同じ並びが続けて3回繰り返されることはない．

*面白い☆

ABABABならその前が…AAA  になってしまうからですね ^^

ABBAABBAABBA ならその前が…ABABAB で上に帰す…

ABAABAABA という並びそのものがないし...

1+4=2+3

1+4+(2+4)+(3+4)=(1+4)+(4+4)+2+3

1^2+4^2+(2+4)^2+(3+4)^2=1^2+2^2+3^2+4^2+2*4*(2+3)+2*4^2

(1+4)^2+(4+4)^2+2^2+3^2=1^2+2^2+3^2+4^2+2*4*(1+4)+2*4^2

1+4+6+7=2+3+5+8

1^2+4^2+6^2+7^2=2^2+3^2+5^2+8^2

1^3+4^3+6^3+7^3+(2+8)^3+(3+8)^3+(5+8)^3+(8+8)^3

=Σk^3+3*8*(2^2+3^2+5^2+8^2)+3*8^2*(2+3+5+8)

=Σk^3+3*8*(1^2+4^2+62+7^2)+3*8^2*(1+4+6+7)

=2^3+3^3+5^3+8^3+(1+8)^3+(4+8)^3+(6+8)^3+(7+8)^3

ってな具合になるわけねぇ ^^

お気に入り♪

上のサイトから Orz〜

*具体的な計算をしてみると…なんとなくわかりました…^^;v