アットランダム≒ブリコラージュ

19990：カードの数字の和...クイズ ^^

問題19990・・・http://www.sansuu.net/akkakomon/akq/ak134q.htm より 引用 Orz〜

３、５、８の数字が書かれたカードがそれぞれ１枚ずつあります。この中からカードを１枚引き、出た数字を記録してから元にもどすことをくり返し、最後にそれまで記録した数字の和を計算します。例えば、３回カードを引いた結果が３、３、５のとき、和は１１です。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）カードを１０回引いたとき、３と５のカードだけが出て、その和は３６でした。

　　　５のカードを何回引きましたか。
（２）カードを７回引いたとき、３と５と８のカードがすべて出て、その和は３７でした。

　　　３のカードを何回引きましたか。
（３）カードを９回引いて和を計算するときに間違えてある数字を１回多く足してしまいました。　　　その結果、和は５７になりました。８のカードを何回引きましたか。

　　　考えられる回数をすべて答えなさい。 

解答

・わたしの...

(1)

36-30=6

6/2=3

so...5が3回

(2)

3*8=24

37-24=13=5+5+3...x

2*8=16

37-16=21

21=3+3+5+5+5 でビンゴ ^^

so...3は2回

(3)

57-3=54

6*8=48

54-48=6=3+3...○・・・つまり、6回

57-5=52

5*8=40

52-40=12...x

4*8=32

52-32=20=5*4...○・・・つまり4回

57-8=49

5*8=40

49-40=9=3*3...○・・・つまり5回

^^

↑

(3) は...おかしかったです ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(2)は正しいです．
私は以下のようにしました．

3,5,8が1回ずつ出て，それ以外について考えるのがよさそうです．
3+5+8=16であり，あと4回で21．
3で割った余りを考えて，5と8は合計で(3の倍数)回であり，
0回→3は4回．3*4=12で不足．
3回→3は1回．3*1+5*3=18，あと3を増やすので，5が2回，8が1回．
結局，あらかじめ考えた1回と合わせて，3は2回．

(3)は変です．例えば，「6回」は起こり得ません．
実際，8が6回出ると，それだけで合計48であり，
あと3回で最低でも3*3=9となって，・・・わたしのは、８回でしたわ...お粗末ぅ... ^^;
「ある数字を1回多く足す」と57を超えてしまいます．

余計に足した分も含め，「10回での和が57」と考えるのがよさそうです．
3で割った余りを考えて，5と8は合計で(3の倍数)回であり，
0回→3は10回．3*10=30で不足．
3回→3は7回．3*7+8*3=45が上限で，不足．
6回→3は4回．3*4+5*6=42で，あと15を増やすので，5が1回，8が5回．
9回→3は1回．3*1+5*9=48で，あと9を増やすので，5が6回，8が3回．

ということで，3,5,8を1回増やした10回について，
3*4+5*1+8*5,3*1+5*6+8*3の2つの可能性があり，
実際にはここから3,5,8のいずれかを1回減らすので，
8の実際の回数は，
5回(57-3=3*3+5*1+8*5,57-5=3*4+5*0+8*5)
4回(57-8=3*4+5*1+8*4)
3回(57-3=3*0+5*6+8*3,57-5=3*1+5*5+8*3)
2回(57-8=3*1+5*6+8*2)
の4つの可能性があります．

*美味そうな方法ですばい ^^♪

19989：出会い算...^^;

問題19989・・・http://www.sansuu.net/akkakomon/akq/ak044q.htm より 引用 Orz〜

中心がＯの円の中に、図のように中心の角６０゜、８０゜の２つのおうぎ形ＡとＢがあり、Ｐ、Ｏ、Ｑが一直線上に並ぶように置かれています。この位置から始めて、おうぎ形ＡはＯを中心に１０秒で１回転する速さで左回りに、おうぎ形ＢはＯを中心に１８秒で１回転する速さで右回りに回ります。ＡとＢが同時に動き始めるとき、次の問いに答えなさい。

（１）ＡとＢが再び同時に元の位置にもどるのは何秒後ですか。
（２）ＡとＢが再び同時に元の位置にもどるまでに、ＡとＢが少しでも重なっている時間は、

            全部で何秒間ですか。

解答

・わたしの...

(1)

10,18秒の最小公倍数

90秒後

(2)

90/10=9回転

90/18=5回転

14回出会う...

1回に...

140/(36+18)秒かかるので...

14*140/54=980/27 秒

でいいのかな ^^

↑

ミスってたようです ^^; Orz...

(14*140/(36+20)=35秒...で良かったってこと...?)

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1)は正しいです．

(2)は，まともにやると少々面倒ですが，次のような方法があります．

90秒間で，「OPを基準にOQが反時計回りに何度回転した方向か」は，
0°から360°まで任意の角を，均等な割合でとる．
0°から60°，280°から360°の範囲にあればよく，
求める時間は，90*((60+80)/360)=35(秒間)．

*む、難しい...^^;...

19988：旧跡...正三角形内の△...クイズ ^^

問題19988・・・http://www.sansuu.net/tkkakomon/tkq/tk164q.htm より 引用 Orz〜

正三角形ＡＢＣの辺上に点Ｄ、Ｅがあり、ＡＤとＤＢの長さの比は３：２、ＡＥとＥＣの長さの比は２：３です。また、点Ｐは次の（１）、（２）、（３）のように、正三角形ＡＢＣの内側にあります。
　正三角形ＡＢＣの面積が１００cm²のとき、三角形ＰＢＣの面積を、それぞれ求めなさい。

（１）ＰはＤＥ上にあり、ＤＰとＰＥの長さの比は２：１

解答

・わたしの...

(2/5)+(1/5)(2/3)=8/15

so...

100*8/15=160/3 cm^2

（２）Ｆは辺ＡＢ上にあり、ＡＦとＦＢの長さの比は１：４
　　　Ｇは辺ＡＣ上にあり、ＡＧとＧＣの長さの比は４：１
　　　ＰはＤＥとＦＧが交わった点

解答

・わたしの...

(2/5)+(1/5)(5/8)=21/40

so...

100*21/40=105/2=52.5 cm^2

↑

間違ってる ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(2) Eを通るFGの平行線は，AFの中点Mを通り，
すると，DP:PE=DF:FM=4:1です．
PのBCからの高さは，Aの高さの(2+4/5)/5=14/25(倍)となって，
求める面積は，100*(14/25)=56(cm2)です．

（３）ＰＤとＡＢ、ＰＥとＡＣはそれぞれ垂直

解答

・わたしの...

(1/5)+(2/5)(1/5)=7/25

so...

100*(7/25)=28 cm^2

↑

これも嘘でしたわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(3) EPの延長とABとの交点をQ，DPの延長とACの延長の交点をRとして，
DQ:ER=1:4は正しいですが，それはQP:PE=1:4を意味しません．

・・・でした ^^;

さらに，Eを通るDPの平行線とABの交点をSとすると，
Sは(2)のF点となり，QP:PE=QD:DS=1:2です．
PのBCからの高さは，Aの高さの(1+2*(1/3))/5=1/3(倍)となって，
求める面積は，100*(1/3)=100/3(cm2)です．

*意外と頭使う問題でしたわ... ^^;v

19987：1001,1002,...,2011のそれぞれの各位の数字の積の和は？...クイズ ^^

問題19987・・・http://www.sansuu.net/tkkakomon/tkq/tk113q.htm より 引用 Orz〜

（１）１１、１２、１３、・・・・・・、９９の２桁（けた）の数について、それぞれ十の位の数と一の位の数をかけて８９個の数を作ります。作った数の合計を答えなさい。
（２）１００１、１００２、１００３、・・・・・・、２０１１の４桁の数について、それぞれ千の位の数、百の位の数、十の位の数、一の位の数をかけて１０１１個の数を作ります。作った数の合計を答えなさい。
（３）（２）で作った数のうち、一の位の数が９であるものは何個ありますか。 

解答

・わたしの...

(1)

(1+2+3+...+9)(1+2+...+9)

=45^2

=2025

(2)

1111〜1999までの数の場合と同じ

so...

45^3=91125

(3)

(1+2+...+9)^3

9=1*1*9=1*3*3=1*7*7=9*9*9=3*7*9

so...

3+3+3+1+6=16個

^^

19986：Aがm枚,B,Cが1枚ずつ. これらから何枚かのカードの選び方...クイズ ^^

問題19986・・・http://www.sansuu.net/tkkakomon/tkq/tk182q.htm より 引用 Orz〜

Aと書かれたカードが何枚かと、Bと書かれたカードが１枚、Cと書かれたカードが１枚あります。これらのカードから何枚かを選ぶとき、その選び方が何通りあるかを考えます。

例えば、Aと書かれたカードが１枚のとき、選んだカードに書かれた文字を｛　｝に書くことにすると、カードの選び方は、
　　｛A｝、｛B｝、｛C｝、｛AB｝、｛AC｝、｛BC｝、｛ABC｝
の７通りです。

次の問いに答えなさい。なお、Aと書かれたカードが２枚以上あるとき、それらは区別しません。

（１）Aと書かれたカードが２枚のとき、選び方は何通りですか。
　また、Aと書かれたカードが３枚のとき、選び方は何通りですか。
（２）Aと書かれたカードが１００枚のとき、選び方は何通りですか。
（３）Aと書かれたカードが何枚のとき、選び方がちょうど３０２３通りになりますか。

解答

・わたしの...

(1)

2枚の時...a^2*b*c...3*2*2-1=11通り

3枚の時...a^3*b*c...4*2*2-1=15通り

(2)

a^100*b*c...101*4-1=403通り

(3)

a^n*b*c

4*(n+1)-1=3023

n+1=3024/4=756

so...

755枚

^^