証明 - 詳細表示 - アットランダム≒ブリコラージュ

半径1の球の中心から球内の任意の点までの距離の期待値球の弦の長さの期待値 ^^

http://ryugen3.sakura.ne.jp/renzoku.html の発展問 ^^

半径1の円の中心から円内の任意の点までの距離の期待値は…

画像：http://wavelet.blog58.fc2.com/blog-entry-143.html より引用 Orz～

底辺を円周にしたとき円の中心を頂点にする二等辺三角形内で考えても同じなので…

存在確率が等しくなる点は重心だから…

底辺から1/3のところ=頂点(円の中心)から1-1/3=2/3になりますね ^^

アナロジーで考えれば…

球面を底面にする三角錐内部の点で考えても同じだから…

画像：http://hofusolar.blogspot.jp/2013/08/blog-post_12.html より引用 Orz～

存在確率が等しくなる点はやはり、重心(各面と結んでできる三角錐の体積が等しい=存在確率が等しい)なので…底面から1/4のところ=頂点(球の中心)から1-1/4=3/4になりますね ^^

画像：http://q.hatena.ne.jp/1320127948 より引用 Orz～

(1/3)*(2/(2/3+2))=(1/3)*(6/8)=1/4

*これってトートロジーじゃないわいねぇ…? ^^;

同じく…

円周上の2点でできる弦の長さの期待値は…

最上サイトから…

・わたしの…

半円で考えて、直径の片側の点をOとして、円と交わる直線を考えると…

その直線と直径とのなす角度をθとすると…

0<=θ<=π/2

PQ=2*cosθ だから…

2*∫ [0～π/2] cosθ dθ/(π/2)=2*[sinθ](0～π/2) /(π/2)=4/π

なので…

球の弦の長さの期待値は…

その弦を含む大円は1:1に決まるので…

けっきょく、円の期待値に還元され、4/π

になりそうねぇ…^^

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球面上の3点でできる鋭角三角形の確率...

円周上の３点でできる鋭角三角形の確率の球面版を考えてみました ^^

調べてみると…

以下のようなスマートな解法を見つけ…脱帽 ^^;☆

http://math.a.la9.jp/aptri2.htm より引用 Orz～

「◆山梨県　Footmark　さんからの解答。

【答え】

鋭角三角形となる確率＝

１

４

, 鈍角三角形となる確率＝

３

４

（鋭角三角形：鈍角三角形＝１：３）

【証明】

球面上の異なる３点は同一直線にないため１つの平面を決定します。
球をその平面で切断すると、必ず切断面は円になり、当然３点はその円周上にあります。
また、ある切断面での円周上の３点は、どんな切断面においても必ず相似(合同)で１対１に存在します。
つまり、円周上の三点のあり方は切断面の如何にはよらないことになります。

ですから、この問題は円周上に３頂点がある三角形が鋭角三角形や鈍角三角形になる確率を求めることになります。
しかし、どんな三角形にも外接円があるので「円周上に３頂点がある」は必要なく、三角形が鋭角三角形や鈍角三角形である確率を求めることになります。

ここで、同一の外接円(切断面)を決定するすべての三角形を検討してみます。

*発想は、わたしの円周上の図と同じですねぇ♪

まず、円周上の２定点による中心角がα(０＜α≦π)の時を考えます。
第３の点は２定点に重ならない円周上の任意の位置にとります。

３点とも半円周未満の円弧上にあれば、

必ず真ん中の点の頂角は

π

２

を越え鈍角三角形になります。

ですから、第３の点が上図の赤線上の時に鋭角三角形になり青線上の時に鈍角三角形になります。

当然、鋭角三角形になる確率は

α

２π

です。

αを限りなく０に近づけると、鋭角三角形になる確率は限りなく０に近づき、
αを限りなく π に近づけると、

鋭角三角形になる確率は限りなく

１

２

(＝

π

２π

) に近づきます。

そこで、横軸を「α」, 縦軸を「鋭角三角形の確率」としてグラフにすると以下になります。

グラフ(図)でも分かるように、任意の外接円(切断面)において

円周上の３点が鋭角三角形となる確率は

１

４

です。

このことは外接円(切断面)の如何を問いませんから、

球面上の３点でできる三角形においても、やはり

１

４

となります。　」

*ようは、任意の2点を通る球の切断面はすべて円になるから、どの円においても円における鋭角△の確率は保存されてるってことからストレートに言えるわけでしたのねぇ☆

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円上に３点を取ってできる鋭角△と鈍角△の比率…^^

このあいだ、算チャレ掲示板で見たとき考えたもので…^^

*これは自分でも気に入ってたりする♪

自画自賛 ^^;v

but...

弦が直径のときは…長方形ができない(or 弦が円の中心を通る確率は限りなく０?)ので…確率は０…と考えればいいのかなぁ…^^;...

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立方体は必ず47個より大きい数の小立方体に分割できる…☆

こんなことが言えるんですねぇ…^^;

よくわからないままアップ～Orz～

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/5645_v4.htm より引用 Orz～

「【１】立方体を小立方体に分割する

立方体を４７個の小立方体に分割することはできない．４７より大きければ立方体を必ずその数の小立方体に分割することができるから，４７はそのような性質をもつ最大数である．

この結果はハドヴィガー予想を解く努力の中で証明された．

画像：http://en.wikipedia.org/wiki/Hugo_Hadwiger より Orz～

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/5988_b7.htm より引用 Orz～

『ハドヴィガー予想（組み合わせ幾何学に関する）

そこで，図形の被覆に関するハドヴィガー予想：

ｎ次元図形の場合，必要な枚数は最大でも２ｎ以内におさまる．

すなわち，正方形では４枚必要だが，立方体では小さな立方体が６個必要になるというもの．２次元の場合は証明されているが，３次元以上ではそれだけでは覆いきれない奇妙な図形が存在する可能性が残っているため，まだ証明されていない．』

それは立方体が１，８，２０，３８，４９，５１，５４個の小立方体に分割できることから証明される．

　　１^3＝１^3

　　２^3＝８・１^3

　　３^3＝２^3＋１９・１^3

　　４^3＝３^3＋３７・１^3

　　６^3＝４・３^3＋９・２^3＋３６・１^3

　　６^3＝５・３^3＋５・２^3＋４１・１^3

　　８^3＝６・４^3＋２・３^3＋４・２^3＋４２・１^3

集合｛１，８，２０，３８，４９，５１，５４｝に対して，ｍ＋ｎ－１をいう操作を繰り返し使えば，４７より大きいどんな数でも作ることができるのである．

【２】整数生成集合

立方体をｍ個に分割し，分割された小立方体のひとつをｎ個に分割すれば，全部でＮ＝ｍ＋ｎ－１になる．分割された小立方体のふたつをｎ個に分割すれば，全部でＮ＝ｍ＋２ｎ－２になる．分割された小立方体のｋ個をｎ個に分割すれば，全部でＮ＝ｍ＋ｋｎ－ｋ＝ｍ＋ｋ（ｎ－１），ｋ≦ｍになる．

これで，４０＜Ｎ＜６０の範囲を検索してみる．４９，５１，５４は除くが，

４１＝２０＋３（８－１）

４３＝８＋５（８－１）

４５＝８＋（３８－１）

４５＝３８＋（８－１）

４６＝８＋２（２０－１）

４８＝２０＋４（８－１）

５０＝８＋６（８－１）

５２＝３８＋２（８－１）

５５＝２０＋５（８－１）

５６＝８＋（４９－１）

５６＝４９＋（８－１）

５７＝８＋８（８－１）

５７＝２０＋（３８－１）

５７＝３８＋（２０－１）

５８＝８＋（５１－１）

５８＝２０＋２（２０－１）

５８＝５１＋（８－１）

５９＝３８＋３（８－１）

４７個に分割することはできないことが確かめられたが，同時に，５３個に分割することもできない．しかし，このほかに，さらに分割することも考えられる．

ｍ＋ｋ（ｎ－１）＋ｋ’（ｎ’－１），ｋ’≦ｋｎ　」

53個が可能であることを考えてみた ^^

｛１，８，２０，３８，４９，５１，５４｝

から…

20+7=27

20+2*7=34

20+3*7=41

20+4*7=48

38+7=45

38+2*7=52

53-27=26

53-34=19・・・so…19=20-1...つまり…53=34+(20-1) で可能ですね ^^

53-41=12

けっきょく、それまでにできる数を使えるから…7個の数でm+k(n-1) (m>n)という数は48以上は全て表せるわけなんでしょうが...どう言えばいいのかわからない…^^;

・鍵コメT様からの納得の証明 Orz～☆

8個に分割可能なので，分割した小立方体の1つをさらに8個に分割することで，
分割数を7増やせます．

1を元に，7ずつ増やして，7で割って1余る1以上の数が可能．

　・・・1,8,15,22,27,34,41,48,
以下同様に，51を元に，7で割って2余る51以上の数が可能．51≡2

38を元に，7で割って3余る38以上の数が可能．
20分割の1つをさらに20分割した39を元に，7で割って4余る39以上の数が可能．
54を元に，7で割って5余る54以上の数が可能．
20を元に，7で割って6余る20以上の数が可能．
49を元に，7で割り切れる49以上の数が可能．

以上より，48以上の数はすべて可能とわかります．

*上の計算で…47ができない最大の数なのね…so…それ以上は、mod 7 で全てありってわけですね ^^