証明 - 詳細表示 - アットランダム≒ブリコラージュ

点と直線の距離…^^

これも今さらですが…^^;

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/distance.htm より引用 Orz～

「公式は、単純である。

点Ａ（ｘ₀ ，ｙ₀ ）から、直線Ｌ：　ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０　に下ろした垂線の長さｄは、

　　　　　　　　　　　　http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/distance5.gif

で与えられる。

*ここで、直線の傾き=-a/b なので...これと平行なベクトルは…(b,-a)

これに直交する法線ベクトルは…-1/(-a/b)=b/a という傾きなので…

これと平行なベクトルは…(a,b) なのね ^^

通常、ベクトルを用いる証明が最短だろう。（ベクトルを太字で表すことにする。）

垂線の足を、Ｈ（ｘ，ｙ）とすると、　ＡＨと（ａ，ｂ）は平行なので、

　　　　　ＯＨ＝ＯＡ＋ｔ・（ａ，ｂ）

また、点Ｈは、直線Ｌ上にあるので、　ＯＨ・（ａ，ｂ）＋ｃ＝０

*ここがよくわからなかったけど…^^;

OH=(x,y) なら…ax+by+c=(x,y)*(a,b)+c=0

そのものってことがわかりましたぁ ^^

よって、　（ＯＡ＋ｔ・（ａ，ｂ））・（ａ，ｂ）＋ｃ＝０　より、

　　　　　　ＯＡ・（ａ，ｂ）＋ｔ（ａ²＋ｂ²）＋ｃ＝０

ここで、　ａ²＋ｂ²≠０　なので、　ｔ＝－（ＯＡ・（ａ，ｂ）＋ｃ）/（ａ²＋ｂ²）

　　　　　　　　　　　　　　　　　＝－（ａｘ₀ ＋ｂｙ₀＋ｃ）/（ａ²＋ｂ²）

したがって、　ｄ＝｜ＡＨ｜＝｜ＯＨ－ＯＡ｜＝｜ｔ・（ａ，ｂ）｜

上式に、ｔの値を代入して、

　　　　　　　　　　　　http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/distance5.gif

が得られる。

この公式の証明は種々考えられるが、最近、次のような証明があることを知った。

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/distance3.gif
　　左図において、　△ＡＢＨ～△ＣＢＤ

　　なので、　ＡＢ：ＡＨ＝ＣＢ：ＣＤ

　　よって、ＢＤ＝ｍ　なので、

| ｙ₀ －（ｍｘ₀ ＋ｎ） | ：ｄ＝http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/distance4.gif ：１

より、
　　　　　　　http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/distance2.gif

　　が成り立つ。

この形から、直線の一般形の場合の公式を作ることは易しい。

直線Ｌ：　ａｘ＋ｂｙ＋ｃ＝０　において、

ｂ≠０　のとき、　ｙ＝－（ａ/ｂ）ｘ－ｃ/ｂ　である。

よって、上記の公式で、　ｍ＝－（ａ/ｂ）　、ｎ＝－ｃ/ｂ　を代入して計算すれば直ちに、

　　　　　　　　　http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/distance5.gif

が得られる。

ｂ＝０　のとき、

点Ａ（ｘ₀ ，ｙ₀ ）から、直線Ｌ：　ｘ＝－ｃ/ａ　に下ろした垂線の長さｄは、

　　　　　　　　　ｄ＝｜ｘ₀＋ｃ/ａ｜＝｜ａｘ₀＋ｃ｜/｜ａ｜

で与えられる。これは、

　　　　　　　　　http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/urawaza/distance5.gif

が、ｂ＝０　のときも成り立つことを示す。

以上で、一般の場合が証明された。」

次に面白い証明を知ったので以下に…☆

http://homepage2.nifty.com/mathfin/distance/minimum.htm より引用 Orz～

「■　dは直線上の任意の点と点Aとの距離の最小値である

http://homepage2.nifty.com/mathfin/distance/dist03.jpg

　　点 http://homepage2.nifty.com/mathfin/distance/vector49.gif と、直線 http://homepage2.nifty.com/mathfin/distance/minimu32.gif 上の点 http://homepage2.nifty.com/mathfin/distance/minimu1.gif について

http://homepage2.nifty.com/mathfin/distance/minimu31.gif

　　が成り立つ。http://homepage2.nifty.com/mathfin/distance/minimu32.gif　だから

　http://homepage2.nifty.com/mathfin/distance/minimu33.gif

　　ここで，計算を簡単にするために http://homepage2.nifty.com/mathfin/distance/minimu34.gif とすると

http://homepage2.nifty.com/mathfin/distance/minimu35.gif　

　　　　　　　　　　　http://homepage2.nifty.com/mathfin/distance/minimu36.gif

　　よって， http://homepage2.nifty.com/mathfin/distance/minimu37.gif　は