アットランダム≒ブリコラージュ

7の倍数...

わかりやすいのを見つけた☆

http://ikura.2ch.net/test/read.cgi/puzzle/1092999551/ より Orz〜

「◆xKvzozvsSk さんのもの Orz〜

整数Mが整数Nで割り切れるかどうかは1/Nを筆算し、

出てくる余りをMの対応する桁に掛けてそれぞれ足した合計がNの倍数か

どうかを見ればよいようですね。理論上、何進数でもこれで行けそうです。

 

↑文章では説明が難しいので実例を。「864192が7で割り切れるかどうか」

 

1÷7=0…1

10÷7=1…3

30÷7=4…2

20÷7=2…6

60÷7=8…4

40÷7=5…5

50÷7=7…1 以下ループ

 

2x1 + 9x3 + 1x2 + 4x6 + 6x4 + 8x5 = 119

 

119は7の倍数なので864192は7の倍数です。

 

20÷7=3…-1 とみてもよさそうですね。

 

一応、原理を補足しときます〜

 

X進数において、整数Mが一桁の整数Nで割り切れるということは

(M mod N)=0であるということですね。

 

すなわち、M=Σ[k=0〜∞](Mk(X^k)) とすれば

(Σ[k=0〜∞](Mk(X^kmod N)) mod N=0

であればよいわけですから、(X^k mod N)を予め求めておく≡1÷Nを延々と

計算して余りを求めておけばNで割り切れるかどうかの判定に利用できる という仕組みです。

 

Nが二桁以上でも理論的には可能ですが、掛ける数がだんだん大きくなるので 実用的には限界があると思われます。」

1の余りは1

10の余りは…(10-3)+3から…3

100の余りは...((10-3)+3)*10から…30の余りで…2

1000の余りは…((100-2)+2)*10から…20の余りで…6

10000の余りは…((1000-6)+6)*10から…60の余りで…4

100000の余りは…((10000-4)+4)*10から…40のあまりで…5

1000000の余りは…((100000-5)+5)*10から…50の余りで…1

つまり…546231の繰り返し…ってことね ^^

また、1/7=142857/999999 なので、

111111 は7の倍数だから…

たとえば、

864192 なら、

111111を引いて、

753081で…

5*4+3*6+8*3+1*1=20+18+24+1=63≡0　mod 7

としてもいいけど、計算が増えるだけだったりする…^^;

三角錐の重心…類推…^^

重心のベクトル表示が奇麗ですが…

アナロジーで…

△なら、面積が３等分になる点、

n角形なら、面積がn等分になる点…→円は中心...

正n角形なら、中心…

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/mathbun/mathbun155.htm より 引用 Orz〜

「三角錐において、その重心の位置は、相対する辺の中点同士を結ぶ線分の中点として得られる。

これは、底面の三角形の重心と残りの頂点を結ぶ線分を １：３ に内分する点でもある。」

三角錐なら、体積が４等分点、…

・・・

n面体なら、体積がn等分になる点…

正n面体(有限個ですけど…)なら、中心…→球は中心...

but…

これでは半円の重心は求まらない…^^;…?

じっさいは…

上記サイトから…Orz〜

「パップス・ギュルダンの定理を用いれば容易に求められる。

平面上の閉じた線で囲まれた図形が、この平面上にあって、これと交わらない直線の周
りに回転して得られる立体の体積について、

（立体の体積）＝（図形の面積）×（図形の重心の描く円周の長さ）

が成り立つ。

原点中心で半径 ｒ の上半円を ｘ 軸の周りに回転させると球ができるので、定理より、

　４πｒ³/３＝πｒ²/２×Ｌ　　から、　Ｌ＝８ｒ/３

ｙ 軸上の点（０，ｙ）に重心があるので、　２πｙ＝８ｒ/３　から、　ｙ＝４ｒ/（３π）」

また…

アルキメデスの方法が紹介されていましたが...前提を証明できないと…トートロジーになりそうな？

「アルキメデスの半円の重心決定があまりにもエレガントですので、ご紹介いたします。

ｘｙ平面に点（−１，１）、（−１，−１）、（０，０）を頂点とする三角形と単位円を半分にした半円を考えます。

すると、三角形と半円はｘ軸を天秤の腕木、原点を支点としてつり合うというものです。

すると、三角形の重心は点（−２/３，０）の位置にあり、面積の比は、半円：三角形＝π/２ ： １、

さらに、　　

（支点から三角形の重心までの長さ）×（三角形の面積）
　　＝（支点から半円の重心までの長さ）×（半円の面積）

から、　（２/３）×１＝ｇ×（π/２）　より、　ｇ＝４/３π

であるので、半円の重心は、点（４/３π，０）の位置にあるというものです。

アルキメデスは、各図形を ｘ 軸に平行な直線で切った切り口が、重さを持つと仮定して、それら無限の切り口がすべて、支点に対してつり合うということを根拠にそれら線分を集めた（無限に）図形もつりあうはずだという、ある種の公理を前提しています。」

素数が無限にあることの証明( by オイラー)☆

オイラーさんが自分で発見したオイラー積を使ってユークリッドの証明以外に初めてなされたものです☆

tsujimotterのノートブック http://tsujimotter.hatenablog.com/entry/2014/03/31/110631 より 引用 Orz〜

「

したがって、

s=1 においては右辺も発散するはずです。

ここで素数が有限個であると仮定すると、右辺は有界です。このことは、左辺の調和級数が発散するという事実に反します。

したがって、背理法により仮定が誤りであること、すなわち、素数が無数にあることが示されました。　」

画像：http://ppctweakies.blogspot.jp/2012/04/ipadminds-of-modern-mathematics.html より 拝借 Orz〜

http://terra.sgu.ac.jp/monolog/2012/131.htm より 引用 Orz〜

盲した巨人がみた素数の大地

「オイラーは、1707年4月15日にスイスのバーゼルに生まれ、1783年9月18日にロシアのサンクトペテルブルクで一生を終えました。若い頃に右目を失明して、以降片目だけで研究を続けていました。数学は片目でも支障がないので、能力を如何なく発揮しました。天才的な能力、なおかつ膨大な成果をあげ、それを論文に残していきました。数学の巨匠としての能力も実績があったので、ギリシア神話の片目の巨人サイクロプスの異名で呼ばれていました。

　 オイラーは、若い頃から才能を発揮していました。20歳の時には、ロシア帝国のペテルスブルグ王立学士院で職を得て、以後、死ぬまで給料をもらい続けていました。1740年から26年間はプロシアに滞在していたのですが、その間も学士院から給料が払われ続けました。オイラーは、生涯ロシア皇帝あるいはエカチェリーナ1世や2世の寵愛を受けていたようです。
　 59歳の時に左目も白内障で失い、全盲になってしまいました。しかし、全盲になって死ぬまでの17年間も、論文を書くスピードは変わらなかったといいます。論文の生産のスピードたるや、尋常ではありませんでした。
　 スイス自然科学協会が、1909年、オイラーの著作全集の刊行を計画しました。当時、500篇ほどの論文があるといわれていました。ところが、調べてみると、ペテルスブルグから新たに400篇近くの著作が見つかりました。現在わかっているだけで、886篇の論文があるようです。
　 著作量は、論文で800 page/yearになるといいます。単なる文章ではなく、数学的な成果を報告するものですが、数学者の一生分の研究業績を一年で書いていたことになります。その生産量を生涯にわたって継続していたのです。もちろん、全盲になった後の17年間も口述筆記で同じ生産量を保っていたそうです。オイラーの死後、未発表の論文が47年間もかかって公開されたそうです。
　 まさに、巨人です。
　 オイラーの名前のついたものが、数学の世界にはいっぱいあります。オイラー数、オイラー積分、オイラーの公式、オイラーの等式、オイラーの五角数定理、オイラーの定数、オイラーの定理、オイラー標数、オイラー法、オイラー予想・・・・などがあります。」

*60歳になって全盲になったあとにも…

http://www.geocities.co.jp/Technopolis/4625/sample4.htm より 引用 Orz〜

「複雑な級数を第１７項まで計算した二人の学生の答が、小数点以下５０桁目だけが違っていた。やむなく師匠のレオンハルト・オイラーが暗算で検算したという。暗算？そう、オイラーは若い頃右目を失明し、５９歳の時に左目も白内障で失って全盲だったのである。・・・

オイラーはニュートンの物理学を幾何から解析に翻訳し、その道具によって次々と物理の問題を解決していく。変分法、剛体の力学、流体力学、音響学、航海術、船舶の設計。驚くべき事に、難解な式変形を必要とする月の運動の理論、今で言う三体問題（太陽と地球と月）、に史上初めて計算可能な近似解を与えたのは視力を失った後のオイラーだった。複雑な計算を全て暗算で行ったのである。」

麗しのゴールドバッハ予想…^^

ゴールドバッハの予想の覚え書き…^^

画像：http://www.flickriver.com/photos/47738026@N05/5095054282/ より 引用 Orz〜

Goldbach's Conjecture 

「UncompressedBitmap, with a graphical representation of the Goldbach's Conjecture:Everyeven integer greater than 2 can be expressed as the sum of two primes.Foreach pixel R = G = B = (X + Y) where X & Y are prime numbers.」

画像：http://aschinchon.wordpress.com/2014/06/22/the-goldbachs-comet/ より 引用 Orz〜

「Every even integer greater than 2 can be expressed as the sum of two primes (Christian Goldbach, 1742)

The point cloud known as Goldbach’s Comet represents the amount of different ways (y axis) an even number (x axis) can be writen as sum of two prime numbers. In this plot, x axis is between 2 and 50.000 (stars are just ornaments):」

 画像：http://unprime6.blogspot.jp/2013/02/goldbach-conjecture.html より Orz〜

「The above graph is a scatter chart going up to a bit less than 5000 which is designed to show in a proportional sense how each even number belonging to the 6n - 2 group may have one or more Goldbach solutions. The x axis is for each of these even numbers. The y axis shows the relative position of each Goldbach solution.」

画像：http://aschinchon.wordpress.com/2014/07/13/the-zebra-of-riemann/ より 引用 Orz〜

 「Many surveys among experts point that demonstration of the Riemann Hypothesis is the most important pending mathematical issue in this world. This hypothesis is related toRiemann zeta function, which is supossed to be zero only for those complex whose real part is equal to 1/2 (this is the conjecture of Riemann itself). Confirming the conjecture would imply deep consequences in prime numbers teory and also in our knowledge of their properties. Next plot represents the argument of zeta function over complex with real part between -75 and 5 (x axis) and imaginary part between -40 and 40 (y axis). An explanation of this kind of graph can be found here. Does not it remind you of something?」

*どこか似た図柄ぁ〜♪

http://www.tcp-ip.or.jp/~n01/math/euler.pdf より 引用 Orz〜

「n と互いに素でない n 以下の自然数に 0 を含めて考えると,次のように重複を含めて全て左右対称に並ぶ.・・・* φ(10) の具体的な数字の並び…^^

例えば n = 10 の場合は

である. 」

つまり…n=2mの場合…

真ん中のmが素数でない場合…

真ん中のmを中心にmと互いに素な数が左右対称に存在する。

mは合成数なので…

mの素因数以外の素数が出現することが言えればいい…

なぜなら、それらは左右対称に存在してるから…

m=2*3なら…5が、

m=3*5 なら…

7,11,13が…

15-7=8, 15+8=23

15-11=4, 15+4=19

15-13=2, 15+2=17

一般に、「『任意の自然数 n に対して、n < p ≤ 2n を満たす素数 p が存在する』（ベルトランの仮説、チェビシェフの定理）この主張は「任意の素数 p の次の素数は 2p 未満」とも言い換えられる。」…wikiより…なので…合成数であるm>=2pだから…

必ず、pとm>2pの間には少なくとも一つの素数qが存在してるので…

また、n=2m、2m-qは、mを構成する素数でもqでも割り切れない…

これが新たな素数rであることが言えればいいわけですよね ^^

素数が無限にあることの新証明( by サイダック)☆

これは知りませんでした♪

http://ja.wikipedia.org/wiki/素数が無数に存在することの証明 より Orz〜

「2006年に発表されたフィリップ・サイダックによる証明は非常に簡潔である。

n は2以上の整数とする。n と n + 1 は互いに素なので、N₂ := n (n + 1) は少なくとも2つの異なる素因子を持つ。同様に、N₂ と N₂ + 1 は互いに素なので、N₃ := N₂ (N₂ + 1) は少なくとも3つの異なる素因子を持つ。この操作を続けることにより、任意に多くの異なる素因子を持つ数を構成することができるので、素数は無数に存在する。」

画像：http://libres.uncg.edu/ir/uncg/clist.aspx?id=239 より 引用 Orz〜

Filip Saidak

*オーマイガッド !!☆!!

♪目から鱗♪

元の証明だそうです ^^

↓

http://horibe.jp/PDFBOX/Filip_Saidak's_proof.pdf より 引用 Orz〜

*連続する数が互いに素であることを使ってるだけなのに...なぜに他の誰も(オイラーもガウスもエルデシュさんも…)気付かなかったんだろ…?…

ユークリッドの証明が余りにも見事すぎたから…?

わたしも敢えて別証明を考えようともしなかった…

ってのはどうでもいいことですが…^^

整数論にはこんな盲点がゴロゴロしてるのかもしれませんね ^^;v