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完全無欠で荒唐無稽な夢 http://d.hatena.ne.jp/Hyperion64/20140807/p1
の記事に載ってた
を調べてみた ^^
「【１】ガウス・リュカの定理
複素数係数の２次方程式ｆ（ｚ）＝０の複素数解をα1とα2，１次方程式ｆ’（ｚ）＝０の解をβとする．このとき，線分α1α2の中点が点βとなる．（あとのためには，点βが線分α1α2の中点であるというよりも，点βが線分α1α2の重心であるといったほうがよい．）
複素数係数の３次方程式ｆ（ｚ）＝０の複素数解をα1，α2，α3，２次方程式ｆ’（ｚ）＝０の解をβ1，β2とする．このとき，線分β1β2は三角形α1α2α3に含まれる．１次方程式ｆ”（ｚ）＝０の解をγとするとき，線分β1β2の中点が点γとなる．
一般に，ｎ次方程式ｆ（ｚ）＝０の複素数解をα1，α2，・・・，αnと書くことにすると，ｎ−１次方程式ｆ’（ｚ）＝０の解β1，β2，・・・，βn-1はｎ角形［α1，α2，・・・，αn］に，ｎ−２次方程式ｆ”（ｚ）＝０の解γ1，γ2，・・・，γn-2はｎ−１角形［β1，β2，・・・，βn-1］に含まれる．・・・．１次方程式ｆ^(n-1)（ｚ）＝０の解ωはｎ角形［α1，α2，・・・，αn］の重心となる．
「代数学の基本定理」の解の位置関係については，このようなことまで成り立ってしまうのです．
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【２】ガウスの定理の証明のあらすじ
ここでは，複素数係数の３次方程式の複素数解が複素平面上で作る３角形の性質に関する「ガウスの定理」の証明のあらすじを紹介します．
ｆ（ｚ）＝ａｘｚ3＋ｂｚ^2＋ｃｚ＋ｄ＝０
の解をα1，α2，α3，
ｆ’（ｚ）＝３ａｚ^2＋２ｂｚ＋ｃ＝０
の解をβ1，β2とします．
すなわち，
ｆ（ｚ）＝（ｚ−α1）（ｚ−α2）（ｚ−α3）＝０
ｆ’（ｚ）＝（ｚ−α1）（ｚ−α2）＋（ｚ−α2）（ｚ−α3）＋（ｚ−α3）（ｚ−α1）＝０
このとき，複素有理関数
Ｆ（ｚ）＝ｆ’（ｚ）／ｆ（ｚ）＝１／（ｚ−α1）＋１／（ｚ−α2）＋１／（ｚ−α3）
を導入すると
ｆ（ｚ）＝０の解→Ｆ（ｘ）の極，ｆ’（ｚ）＝０の解→Ｆ（ｘ）の零点をなることを使うと，ガウスの定理を導出することができます．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【３】ファンデンバーグ・ジーベックの定理
「ガウスの定理」より
『複素数係数の３次方程式ｆ（ｚ）＝０の複素数解をα1，α2，α3，２次方程式ｆ’（ｚ）＝０の解をβ1，β2とする．このとき，線分β1β2は三角形α1α2α3に含まれる．１次方程式ｆ”（ｚ）＝０の解をγとするとき，線分β1β2の中点が点γとなる．』ですが，もっと面白い現象
『２点β1，β2は三角形α1α2α3の３辺の中点でこれらの辺に接する楕円の焦点になる．』
に到達することができます．
（証）γ＝（α1＋α2＋α3）／３＝（β1＋β2）／２
また，３辺の中点は
μ1＝（α2＋α3）／２，μ2＝（α3＋α1）／２，μ3＝（α1＋α2）／２
このとき，中線定理を使うと
｜μ1−β1｜＋｜μ1−β2｜＝｜μ2−β1｜＋｜μ2−β2｜＝｜μ3−β1｜＋｜μ3−β2｜
が成り立つ．
［系］与えられた三角形に内接する面積が最大となるシュタイナー楕円は，接点が各辺の中点となるものである．その面積比は
π／３√３
で円とそれに外接する正三角形の面積比に等しい．」
*理屈はわかるも...具体的な絵が描けない…^^; Orz〜
[系]も...射影的には了解可能ですね♪
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