面白い問題ですね♪
「ウォルステンホルムの定理（１８６２年）
（Ｑ）ｐ＞３が素数ならば，既約分数
１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）
の分子はｐ^2で割り切れることを証明せよ（１８６２年）．
＊ウォルステンホルムの定理の別証明
（ｐ−１）！とｐは互いに素であるから
Ｓ＝（ｐ−１）！（１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１））
がｐ^2で割り切れることと
１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）＝０ （ｍｏｄ ｐ^2）
は同値である．
ｍｏｄ算術を扱う場合，１／２のような数はある整数と同値である．
*ここがよく分からない？...どうしてそう言えるんだろ？…^^;
たとえば，
１／２＝６／２＝３ （ｍｏｄ ５）
１＋１／２＋１／３＋１／４＝１＋１３＋１７＋１９＝０ （ｍｏｄ ２５）
*1/2=x…2x-1=25…x=13
1/3=x…3x-1=25*2…x=17
1/4=x…4x-1=25*3…x=19
って求めてるようね…^^…?
素数ｐによる整除性ではなく，素数の平方ｐ^2による整除性なのでかなり難しい問題である．
そこで，素数による整除性の問題に帰着させてより解きやすいものにしたい．そこでまず
１＋１/２＋１/３＋・・・＋１/（ｐ−１）＝０ （ｍｏｄ ｐ）
を証明しよう．
１＋１/２＋１/３＋１/４＝１＋３＋２＋４＝０ （ｍｏｄ ５）
であるが，
４＝−１，３＝−２ （ｍｏｄ ５）
を使えば，
１＋１/２＋１/３＋１/４＝１−２＋２−１＝０ （ｍｏｄ ５）
同様に，
ｐ−１＝−１，ｐ−２＝−２，・・・ （ｍｏｄ ｐ）
であるから
１＋１/２＋１/３＋・・・＋１/（ｐ−１）＝０ （ｍｏｄ ｐ）
を証明することができる．
次に，１/１と１/（ｐ−１），１/２と１/（ｐ−２），・・・をペアに組ませると
１＋１/２＋１/３＋・・・＋１/（ｐ−１） （ｍｏｄ ｐ^2）
＝１＋１/（ｐ−１）＋１/２＋１/（ｐ−１）＋・・・＋１/（ｐ−１）/２＋１/（（ｐ＋１）/２）
＝ｐ（１/（ｐ−１）＋１/２（ｐ−２）＋・・・＋１/（(ｐ−１）/２)*（ｐ＋１）/２）
（ｍｏｄ ｐ^2）
したがって，
１/（ｐ−１）＋１/２（ｐ−２）＋・・・＋１/（(ｐ−１）/２)*（ｐ＋１）/２)＝０
（ｍｏｄ ｐ）
ｐ−１＝−１，ｐ−２＝−２，・・・ （ｍｏｄ ｐ）
であるから，
１/１^2＋/２^2＋１/３^2＋・・・＋１/（ｐ−１）^2＝０ （ｍｏｄ ｐ）
が成り立つことをを示しさえすればよい．
*項数は(p-1)/2個になっているはずでは…？
１/１^2＋/２^2＋１/３^2＋・・・＋１/（ｐ−１）^2
＝１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋（ｐ−１）^2＝（ｐ−１）ｐ（２ｐ−１）/６＝０
（ｍｏｄ ｐ）
となって証明了．」
↑
鍵コメT様からの解説を頂戴しました〜m(_ _)m〜
↓
私はこの文脈で「同値」ということばは使いませんが，
概ね次のようなことだと思います．
[1] 割り算の意味から
そもそも「a/b」とは，方程式bx=aの解を意味します．
これの類推で，合同式の文脈では，bx≡a を満たす整数xの意味で
a/b との表記を用いることもあり得ます．
この表記を用いる場合，例えば
mod5で「1/2」とは，3 (もちろん8とか-2でも同じ)であり，
mod25で「1/3」とは，17 となります．
[2] 合同の意味から
以下，法pは整数とします．通常の整数について，
a≡b (mod p) は，「a-bがpで割り切れること」を意味します．
これを拡張して，有理数について，x≡y (mod p)を，
「x-yを既約分数にしたとき，分子がpで割り切れること」と考えることにすると，
x≡yのとき，x-yの分母は，pと互いに素であり
(分子がpの倍数で，既約分数なので，pと分母は，1より大きい公約数をもたないから)
この意味でx≡y,z≡wであれば，x+z≡y+wとなることがわかります．
(pa/b+pc/d=p(ad+bc)/(bd)で，bdはpと互いに素より，約分しても分子のpは残るので)
[2] の解釈によれば，mod25で，
1/2≡13,1/3≡17,1/4≡19 であり，
1+1/2+1/3+1/4≡1+13+17+19となりますね．
*後半の疑問も解消♪
↓
・鍵コメT様からのもの〜m(_ _)m〜グラッチェ☆
mod p において，k^2≡(p-k)^2なので，
1/1^2+1/2^2+…+1/(p-1)^2 の前半と後半は，逆順で同じものです．
1/1^2+1/2^2+1/3^2+…+1/(p-1)^2=0 を示せば，前半=0はすぐ言えます．
ただ，
「mod p^2 で，
2(1+1/2+1/3+…+1/(p-1))
=(1+1/(p-1))+(1/2+1/(p-2))+…+(1/(p-1)+1)
=p/(1(p-1))+p/(2(p-2))+p/(3(p-3))+…+p/((p-1)1)
=p(1/(1(p-1))+1/(2(p-2))+1/(3(p-3))+…+1/((p-1)1))」
とする方が見やすいかもしれませんね．
*納得です☆
証明はその辺りが略されてましたのねぇ…^^;…
わたしのレベルでは...そこが謎でしたぁ…^^;;…Orz〜
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