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いまちょっとわかりたいと思ってるもので...^^
http://ja.wikipedia.org/wiki/平方剰余の相互法則 より Orz〜
「平方剰余（へいほうじょうよ）とは、ある自然数を法としたときの平方数のことであり、平方剰余の相互法則（quadratic reciprocity）は、ある整数 a が平方剰余であるか否かを見いだす法則である。
定義
a と p とが互いに素であるとき、合同式
が解を持てば、 a は p を法として平方剰余であるといい、そうでないとき平方非剰余であるという。
(p, a) を a と p の最大公約数とするとき、次の記号
を、アドリアン＝マリ・ルジャンドルにちなんでルジャンドル記号と呼ぶ。
また、このほかに以下の第1補充法則、第2補充法則が知られている。
第1補充法則:
第2補充法則:
またpとa、bが素であれば、
この法則は、レオンハルト・オイラーによって予想され、カール・フリードリッヒ・ガウスによって証明された（ガウス日誌によれば、1796年4月8日。発表されたのは1801年の『整数論』において）。ガウスはこの法則に対して生涯で7つの異なる証明を与えた。その一つの動機は、三次や四次の相互法則を証明することにあった。現在では200近くもの証明が知られている。しかし、どれもそれほど簡単ではない。 三次や四次の相互法則は、ヤコビ、アイゼンシュタインによって独立に証明された（1844年にアイゼンシュタインが証明を公表）。より高次のまた一般的な代数的整数における一般的な相互法則の証明は（ヒルベルトの第9問題）、高木貞治やエミール・アルティンによってなされた。」
画像：http://www.chikumashobo.co.jp/author/003547/ より 拝借 Orz〜
「ドイツの数学者。Emil Artin。１８９８−１９６２。主な業績は、高木貞治により提唱された類体論の完成、ヒルベルトの２３の問題の一つの解決など。フェルマーの最終定理の解決にも多大の貢献をする。１９２６年から１９２７年にかけて、特に創造的であった。科学者の場合、このように創造性が増大するケースは多々あり、ニュートン、アインシュタインなどにも見られる。」...http://d.hatena.ne.jp/keyword/%A5%A2%A5%EB%A5%C6%A5%A3%A5%F3 より 引用 Orz〜 *なぜかしら...アルティンさんの画像がないんですけど...^^;...写真嫌いだった...?...
「4^2=16≡2 ( mod7 )
x^2≡b ( mod 7 ) という 整数 x がある場合、b は ７を法とする平方剰余であると言います。
すなわち、次のような言い方をします。
2 は ７を法とする平方剰余である。
ここで注意してもらいたいのは、すべての整数が平方剰余であるとは限らないということです。
（事実１）
x^2≡3 ( mod 7 ) を満たす 整数 x は存在しない。
これは、 x=1,2,3,4,5,6 までを代入して確かめることによって確認できます。
平方剰余とは反対に、このとき、3 は ７を法とする平方非剰余である。
という言い方をします。
Legendre（ルジャンドル）の記号を定義します。
３以上の素数 p を 一つ固定します。
素数で割り切れない整数 x に対して、 （x/p) を次のように定義します。
（定義１）
pの倍数でない x が p を法として、平方剰余ならば、 (x/p)=1
pの倍数でない x が p を法として、平方非剰余ならば、 (x/p)=-1
（追加： x が p の倍数のとき、(x/p)=0 と定義します）
こうして定義された (x/p)をルジャンドルの記号と言います。
（性質１）
（１) a≡b ( mod p ) ならば、 (a/p)=(b/p)
（２）(a/p)(b/p)=(ab/p)
（３） (a/p)≡a^{(p-1)/2} ( mod p )
本来なら、（性質１）は証明すべきことですが、ここでは先に進みます。
平方剰余の相互法則、第一補充法則、第二補充法則は次の式のことです。
（平方剰余の相互法則）
p , q が異なる２つの奇素数（３以上）とするとき
(p/q)(q/p)=(-1)^{(p-1)(q-1)/4}
平方剰余の相互法則から、
(p/q)=(-1)^{(p-1)(q-1)/4}(q/p)
がわかります。
（第一補充法則）
p が奇素数（３以上）とするとき
(-1/p)=(-1)^{(p-1)/2}
（第二補充法則）
p が奇素数（３以上）とするとき
(2/p)=(-1)^{(p^2-1)/8}
上記性質および法則を使うと、ルジャンドルの記号 (a/p) の値が簡単に求められます。
すなわち、 a が p を法として、平方剰余であるか平方非剰余であるかが簡単に求められます。
例をやってみましょう。
（例１）
(15/31) の値を求めよ。
（解）
(15/31)=(3/31)(5/31)
(3/31)=(-1)^{(3-1)(31-1)/4}(31/3)={(-1)^15}(31/3)=(-1)(1/3)=-1
(5/31)=(-1)^{(5-1)(31-1)/4}(31/5)={(-1)^30}(31/5)=(-1)(1/5)=1
∴ (15/31)=(3/31)(5/31)=(-1)1=-1
これが、平方剰余 （平方非剰余）の判定法としては現在知られている簡単なやり方です。」
*メビウス関数と匂いが似てる...^^
http://ja.wikipedia.org/wiki/メビウス関数 より Orz〜
メビウス関数は次のように定義される（ただし 1 は 0 個の素因数を持つと考える）：
計算例例えば、6 = 2 × 3 であり、素数の 2 乗で割り切れず、素因数の数は 2 で偶数であるから、μ(6) = 1 である。また、12 = 22 × 3 であり、2 の 2 乗で割り切れるため、μ(12) = 0 である。n = 1, ..., 10 での μ(n) の値を示す（ |
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